La paradoja de la energía cinética

La paradoja de la energía cinética  es un experimento mental en el marco de la mecánica clásica , que supuestamente indica una violación del principio de relatividad de Galileo . Cuando la velocidad de un cuerpo cambia, el incremento de su energía cinética en un marco de referencia no es igual al incremento en otro marco de referencia. Esto supuestamente implica la existencia de sistemas de referencia, donde se viola la ley de conservación de la energía y, en consecuencia, se alega que se viola el principio de relatividad de Galileo.

Motor interno

Considere un carro de juguete con un resorte real que puede almacenar energía potencial . Despreciaremos las pérdidas de energía debidas a la fricción . Deje que esta reserva de energía sea capaz de acelerar el juguete a la velocidad . Pasemos a otro marco de referencia inercial , que se mueve en relación con la Tierra hacia el automóvil con una velocidad de . Desde el punto de vista de este sistema de referencia, la velocidad del juguete antes de la aceleración es igual y la energía cinética es igual a . La velocidad del juguete después de la aceleración es igual a la energía cinética . Por lo tanto, la energía cinética del automóvil ha aumentado en , lo que supera la reserva de energía en el resorte [1] .

Explicación de la paradoja

La paradoja se explica por el hecho de que el razonamiento anterior no tiene en cuenta el cambio en el impulso y la energía cinética de la Tierra durante la aceleración del juguete. Si tenemos en cuenta el cambio en el momento y la energía cinética de la Tierra, entonces se explica la paradoja. Despreciemos el movimiento de rotación de la Tierra por el momento.

Pasemos a un marco de referencia en el que la Tierra y el juguete inicialmente están inmóviles. Después de la aceleración del juguete, de acuerdo con la ley de conservación del momento, puedes escribir la ecuación , donde  es la masa del juguete,  es la velocidad del juguete,  es la masa de la Tierra,  es la velocidad del Tierra. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, la ecuación se puede escribir . Expresando la velocidad de la Tierra a partir de la ecuación y sustituyendo en la ecuación , obtenemos [1] .

Pasemos al marco de referencia, en el que la Tierra y el juguete se mueven inicialmente con una velocidad de . Después de la aceleración del juguete, de acuerdo con la ley de conservación del momento, puedes escribir la ecuación , donde  es la velocidad de la Tierra después de la aceleración del juguete. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, se puede escribir una ecuación para cambiar la energía cinética . Expresamos la velocidad de la Tierra a partir de la ecuación y la sustituimos en la ecuación anterior. obtenemos _ Después de transformaciones simples, obtenemos . Es decir, en este caso, el cambio en la energía cinética de todo el sistema es igual a la energía potencial del resorte [2] .

El cambio en la energía cinética del juguete en el nuevo marco de referencia es tres veces mayor que en el marco de referencia asociado a la Tierra debido a que ocurre no solo por la energía potencial del resorte, sino también por al hecho de que las ruedas del juguete en el nuevo marco de referencia reducen la velocidad de la Tierra [2] .

Consideremos ahora la rotación de la Tierra provocada por el juguete. La energía cinética de la rotación de la Tierra también aparecerá en el lado derecho de la fórmula . Será del mismo orden que la energía cinética del movimiento de traslación de la Tierra , por lo tanto, en un marco de referencia donde la Tierra estaba inmóvil, al igual que la energía del movimiento de traslación de la Tierra, se puede despreciar y se puede suponer que todos la energía potencial del resorte se convierte en la energía cinética del juguete. En el marco de referencia, donde las velocidades del juguete y la Tierra son iguales al principio , la energía cinética de la rotación de la Tierra será la misma que en el primer marco de referencia, ya que el cambio en la velocidad angular de la Tierra es el mismo en todos los marcos de referencia inerciales. Por lo tanto, la energía de rotación puede despreciarse en el segundo marco de referencia [3] .

Fuerza externa

Considere un cuerpo con masa que se mueve con rapidez . Deje que una fuerza constante actúe sobre este cuerpo durante algún tiempo , dirigida a lo largo de la misma línea recta que la velocidad . Cambia la velocidad del cuerpo de un valor a un valor de . Como resultado de la acción de esta fuerza, el cambio en la energía cinética del cuerpo será igual a .

Ahora pasemos a otro marco de referencia, moviéndonos en relación con el marco de referencia anterior de manera uniforme y rectilínea con una velocidad dirigida a lo largo de la misma línea recta que la velocidad . En este marco de referencia, el cambio de energía cinética será igual , es decir, será menor que en el primer marco de referencia, lo que no es consistente con el principio de relatividad de Galileo [4] .

Explicación de la paradoja

El principio de relatividad requiere que se observen las mismas leyes físicas en los dos marcos de referencia bajo consideración. Así, se debe cumplir la ley de conservación de la energía , según la cual el cambio en la energía del cuerpo debe ser igual al trabajo de las fuerzas externas. Por lo tanto, en el primer sistema, la relación debe ser verdadera . Esta  es la longitud de la trayectoria recorrida por el cuerpo en el primer sistema durante el tiempo durante el cual la velocidad aumentó de a . Como el cuerpo se mueve con aceleración , entonces .

en el segundo sistema . Aquí  está la longitud del camino recorrido por el cuerpo en el segundo sistema . Entonces, . Desde entonces . Por lo tanto

El trabajo de una fuerza externa en el primer marco de referencia es tanto mayor que en el segundo como el cambio de energía cinética en el primer marco es mayor que en el segundo. Dado que en el primer sistema el cambio de energía es igual al trabajo de las fuerzas externas, esto también es cierto para el segundo sistema. En consecuencia, no se viola el principio de relatividad de Galileo [4] .

Véase también

Notas

  1. 1 2 Butikov, 1989 , pág. 73.
  2. 1 2 Butikov, 1989 , pág. 74.
  3. Butikov, 1989 , pág. 75.
  4. 1 2 Shaskolskaya M. P. , Eltsin I. A. Colección de problemas seleccionados de física. - M., Nauka, 1986. - pág. 24, 111

Literatura