Primera forma cuadrática

La primera forma cuadrática (o la primera forma fundamental o tensor métrico ) de una superficie es una forma cuadrática en el paquete tangente de la superficie que define la geometría interna de la superficie en la vecindad de un punto dado. La primera forma cuadrática se denota a menudo . $\mathrm {I}$

Conocer la primera forma cuadrática es suficiente para calcular la curvatura gaussiana de una superficie, así como para calcular las longitudes de los arcos, los ángulos entre curvas y las áreas de áreas en la superficie.

Definición

Deje que la superficie en el espacio euclidiano con producto escalar esté dada por la ecuación donde y son coordenadas internas en la superficie; es la diferencial del radio vector a lo largo de la dirección elegida de desplazamiento desde un punto hasta un punto infinitamente cercano . (Aquí y son las derivadas parciales del radio vector con respecto a y con respecto a respectivamente.) Luego, el cuadrado de la parte principal del incremento de longitud se expresa por el cuadrado de la diferencial : $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $tu$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $METRO$ $METRO'$ $r_{u}$ $r_{v}$ $r$ $tu$ $v$ $|MM'|$ $dr.$