Periodo pisano

El período de Pisano es la longitud del período de la sucesión de Fibonacci módulo un número natural dado m . ${\ estilo de visualización \ pi (m)}$

Ejemplos

Por ejemplo, definamos el período de Pisano en . Sea el -ésimo número de Fibonacci. es el resto de dividir el número de Fibonacci por . Al completar la siguiente tabla, $metro=4$ $F_{yo}$ $i$ $F_{i}\modm$ $i$ $metro$

Definición en

{\ estilo de visualización \ pi (m)}

metro=4

$i$	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	quince	dieciséis	17	Dieciocho	…
${\ Displaystyle F_ {yo}}$	una	una	2	3	5	ocho	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	…
$F_{i}\modm$	una	una	2	3	una	0	una	una	2	3	una	0	una	una	2	3	una	0	…

tenga en cuenta que los primeros seis números (0, 1, 1, 2, 3, 1) de la secuencia se repiten infinitamente, lo que significa que para el período de Pisano es igual a seis: . $\{F_{i}\mod m\}$ $metro=4$ ${\ estilo de visualización \ pi (4) = 6}$

A la secuencia formada por los períodos pisanos se le ha asignado el número A001175 , y su inicio se muestra en la siguiente tabla.

$metro$	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	quince	dieciséis
${\ estilo de visualización \ pi (m)}$	una	3	ocho	6	veinte	24	dieciséis	12	24	60	diez	24	28	48	40	24

Periodicidad

La secuencia de Fibonacci módulo cualquier número natural es periódica, ya que entre los primeros pares de números hay dos pares iguales para algunos . Por lo tanto, para todo k natural , es decir , la secuencia es periódica. $metro$ ${\ estilo de visualización m^{2}+1}$ $(x_{i},x_{i+1})\equiv (x_{j},x_{j+1}){\pmod {m))$ $i\leqslant j$ $x_{i+k}\equiv x_{j+k}{\pmod {m))$

Propiedades

Si a y b son primos relativos , entonces . O, si se factoriza en factores primos : , entonces (una consecuencia del teorema chino del resto ). $\pi (ab)=\mathrm {HOK} \left(\pi (a),\pi (b)\right)$ $metro$ $m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k }}$ $\pi (m)=\mathrm {HOK} \left(\pi (p_{1}^{\alpha _{1))),\pi (p_{2}^{\alpha _{2} }\derecha),\ldots,\pi (p_{k}^{\alpha _{k))))$

${\ estilo de visualización \ pi (m) = \ sigma (m) \ cdot \ sigma _ {0} (m)}$ , donde detrás está el número de ceros en el período, y detrás está el índice del primer cero (sin contar ). Además, se sabe que . ${\ estilo de visualización \ sigma (m) \;}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {0} (m) \;}$ $F_{0}$ ${\ estilo de visualización \ sigma (m) \ en \ {1,2,4 \}}$

Para un número primo y un entero , . Además, para todas las potencias exactas de los números primos del 1 al millón, . Pero aún se desconoce (ver problemas matemáticos abiertos ) si esta igualdad se cumple para todos los números y si hay p tales que . $pags$ $k\geqslant 1$ ${\ estilo de visualización \ pi (p ^ {k}) | p ^ {k-1} \ cdot \ pi (p)}$ ${\ estilo de visualización \ pi (p ^ {k}) = p ^ {k-1} \ cdot \ pi (p)}$ ${\ estilo de visualización \ pi (p ^ {2}) = \ pi (p)}$

Si es un número primo, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: $pags$
- cuando el número es un divisor ; $p\equiv \pm 1{\pmod {5}}$ ${\ estilo de visualización \ pi (p)}$ ${\ estilo de visualización p-1}$
- cuando el número es un divisor . $p\equiv \pm 2{\pmod {5}}$ ${\ estilo de visualización \ pi (p)}$ $2\cdot p+2$

Para todos los números enteros positivos , la desigualdad es verdadera , y la igualdad se logra solo en números de la forma . $metro$ ${\ estilo de visualización \ pi (m) \ leqslant 6 \ cdot m}$ ${\displaystyle m=2\cdot 5^{k))$

Enlaces

Charles W. Campbell II, "El período de la secuencia de Fibonacci Modulo j" , Math 399 Primavera 2007
Marc Renault, "La secuencia de Fibonacci módulo m"
N. N. Vorobyov. Números de Fibonacci . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Conferencias populares sobre matemáticas ).