Superficie de Darboux
La superficie de Darboux es una superficie bidimensional F 2 en un espacio euclidiano tridimensional E 3 , en el que se define el tensor de Darboux y es idénticamente igual a cero .
El tensor de Darboux es un tensor simétrico covariante triple de tercer orden, definido en la superficie F 2 con curvatura gaussiana distinta de cero K en E 3 .
Los componentes del tensor de Darboux se calculan mediante las fórmulas:
donde son los coeficientes de la segunda forma cuadrática, K es la curvatura gaussiana y y son sus derivadas covariantes.
G. Darboux [1] fue el primero en llegar a este tensor en coordenadas especiales .
La desaparición del tensor de Darboux caracteriza las superficies de Darboux en E 3 : superficies bidimensionales de segundo orden que no se expanden en un plano [2] .
Otra propiedad importante de las superficies de Darboux está relacionada con la teoría de las flexiones infinitesimales de las superficies. Así, las superficies de Darboux de curvatura gaussiana positiva K>0 en E 3 se caracterizan por la propiedad de que el sistema de ecuaciones de flexiones infinitesimales sobre ellas y sólo sobre ellas se reduce al sistema de ecuaciones de Cauchy-Riemann [3] .
Una generalización natural de las superficies de Darboux son las subvariedades n-dimensionales con una segunda forma fundamental cíclicamente recurrente en espacios (n+p)-dimensionales de curvatura constante [4] .
Cualquier superficie cíclicamente recurrente F 2 con curvatura gaussiana K distinta de cero en el espacio euclidiano tridimensional E 3 es localmente una superficie de Darboux [5] .
- El teorema de Bonnet. En la superficie de Darboux en el espacio euclidiano tridimensional a lo largo de cada línea de curvatura, la correspondiente curvatura principal que le corresponde es proporcional al cubo de la otra curvatura principal [6] .
Notas
- ↑ Darbouch, G. "Toro. ciencia matemáticas.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
- ↑ Kagan, V.F. Fundamentos de la teoría de superficies en una presentación tensorial, parte 2, Moscú-Leningrado: OGIZ, 1948, pp. 210-233.
- ↑ Vekua, I. N. Funciones analíticas generalizadas. M.: Nauka, 1988. S. 326-330.
- ↑ Bodrenko, I. I. Superficies de Darboux generalizadas en espacios de curvatura constante. Saarbrücken, Alemania: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, pp. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
- ↑ Bodrenko, I. I. Superficies de Darboux generalizadas en espacios de curvatura constante. C. 119-130.
- ↑ Kagan, V.F. Fundamentos de la teoría de superficies en presentación tensorial, parte 2, Moscú-Leningrado: OGIZ, 1948.