Subespacio de Krylov

En álgebra lineal , un subespacio de dimensión de Krylov , generado por un vector y una matriz , es un espacio lineal. $metro$ $v\in {\matemáticas {C}}^{n}$ $A\in {\mathbb {C}}^{{n\veces n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

El subespacio de Krylov es un subespacio del espacio vectorial sobre el campo de los números complejos : ${\mathcal {K}}_{m}\subconjunto \mathbb {C} ^{n}.$

Dichos espacios recibieron su nombre del matemático aplicado e ingeniero naval ruso A. N. Krylov , quien publicó un artículo sobre el problema en 1931.

Dimensión del subespacio de Krylov

Debido a la dimensionalidad finita del espacio, existe tal que los vectores son linealmente independientes, y existe una combinación lineal de estos vectores con coeficientes $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ ${\ estilo de visualización A ^ {p} v}$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma_{1}A^{p-1}v-\gamma_{2}A^{p-2}v-...-\gamma_{p }v$

Componemos un polinomio y obtenemos: $\varphi (\lambda)=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma_{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

${\ estilo de visualización \ varphi (A) v = 0.}$

El polinomio de grado es el polinomio mínimo del vector v con respecto a la matriz A . ${\ estilo de visualización \ varphi (A)}$ $pags$

Propiedades del subespacio de Krylov

1. invariante con respecto a y para cualquier

{\mathcal {K}}_{p}

A

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq pág.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Métodos tipo Krylovsky

Los algoritmos que utilizan subespacios de Krylov se denominan tradicionalmente métodos de tipo Krylov. Se encuentran entre los métodos más exitosos actualmente disponibles en álgebra lineal numérica.

Métodos iterativos modernos para encontrar valores propios y métodos para resolver SLAE, centrados en matrices de grandes dimensiones, evitan operaciones matriz-matriz y, con mayor frecuencia, multiplican la matriz por vectores y trabajan con los vectores resultantes:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

dónde

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

Los métodos subespaciales de Krylov más famosos son el método Arnoldi , el método Lanczos , el método del gradiente conjugado , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR y MinRES .

Véase también

Método de Krylov para encontrar el polinomio característico de la matriz .
Métodos de proyección para resolver SLAE
Biortogonalización de Lanczos
Biblioteca de plantillas iterativas

Literatura

Krylov A. N. Sobre la solución numérica de una ecuación que determina las frecuencias de pequeñas oscilaciones de sistemas materiales en materia técnica. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos . — 2ª edición. - Sociedad SIAM de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2003. - P. 477 . — ISBN 0898715342 .
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz . — 2ª edición. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Métodos para resolver SLAE de alta dimensión. - Novosibirsk: NSTU, 2000. - S. 70.