Regla de la barrena

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Regla de Gimlet (regla del tornillo ) : cualquiera de  las muchas variantes de la regla mnemotécnica para determinar la dirección del producto vectorial y la elección estrechamente relacionada de la base correcta [a] en el espacio tridimensional , el acuerdo sobre la orientación positiva del base en él, y, en consecuencia, el signo de cualquier vector axial determinado por la orientación de la base.

Por regla general, la elección de una de las dos direcciones posibles del vector axial se considera puramente arbitraria; simplemente tiene que ocurrir siempre de la misma manera, para que el signo no se confunda en el resultado final de los cálculos. Para eso están las reglas descritas en este artículo: te permiten ceñirte siempre a la misma elección.

Aplicación de la regla

Bajo el nombre de la regla de la mano derecha, hay varias reglas bastante diferentes (incluidas varias variantes de la "regla de la mano izquierda"). En la práctica, uno puede limitarse a elegir entre todo el conjunto de estas reglas (o similares) en diferentes formulaciones de una que pertenece a un tipo universal: determinar el signo de un producto vectorial o la orientación de una base.

Tal elección se considera el mínimo necesario : sin al menos una versión de la "regla del gimlet", no solo es imposible seguir las convenciones generalmente aceptadas, sino que también es extremadamente difícil mantener la coherencia incluso en los cálculos de trabajo. Al mismo tiempo, una versión de la regla es suficiente: en lugar de todas las reglas mencionadas en este artículo u otras similares [b] , puede usar solo una, si solo conoce el orden de los factores en fórmulas que contienen productos vectoriales.

En particular, esta regla se aplica para determinar la dirección [c] de vectores axiales tan importantes en física como el vector de velocidad angular que caracteriza la velocidad de rotación del cuerpo, el vector de inducción magnética B y muchos otros, así como para determinar la dirección de dichos vectores, que se determinan a través de axial , por ejemplo, la dirección de la corriente de inducción para un vector dado de inducción magnética.

Para muchos de estos casos, además de la formulación general que permite determinar la dirección del producto vectorial o la orientación de la base en general, existen formulaciones especiales de la regla, mucho menos generales, pero bien adaptadas al caso concreto. situación.

Regla general (principal)

La regla principal que se puede utilizar tanto en la variante de la regla de la barrena (tornillo) como en la variante de la regla de la mano derecha es la regla para elegir la dirección para las bases y el producto vectorial (o incluso para uno de los dos, ya que uno se determina directamente a través del otro). Es la principal porque es suficiente para usarse en todos los casos en lugar de todas las demás reglas, si solo se conoce el orden de los factores en las fórmulas correspondientes.

La elección de una regla para determinar la dirección positiva de un producto vectorial y para una base positiva (sistema de coordenadas) en el espacio tridimensional están estrechamente relacionadas.

Ambas reglas son puramente arbitrarias, pero es habitual (al menos a menos que se indique explícitamente lo contrario) suponer, y esta es una convención generalmente aceptada, que la base correcta es positiva y que el producto vectorial se define de modo que para una ortonormal positiva base (la base de coordenadas cartesianas rectangulares con escala unitaria en todos los ejes, que consta de vectores unitarios en todos los ejes) [d] lo siguiente:

donde la cruz oblicua denota la operación de multiplicación de vectores.

Por defecto, es común usar bases positivas (y por lo tanto correctas). Es costumbre usar bases izquierdas principalmente cuando usar la base derecha es muy inconveniente o imposible (por ejemplo, si nuestra base derecha se refleja en el espejo, entonces el reflejo es una base izquierda y no se puede hacer nada al respecto) .

Por lo tanto, la regla para el producto vectorial y la regla para elegir (construir) una base positiva son consistentes entre sí.

Se pueden formular así:

Para un producto vectorial

Regla de la barrena (tornillo) para un producto vectorial : “Si dibujas los vectores de modo que sus comienzos coincidan y rotas el primer vector factor de la manera más corta al segundo vector factor, entonces la barrena (tornillo) girando de la misma manera se atornillará en la dirección de las obras-vectoriales".

Una variante de la regla de la barrena (tornillo) para un producto vectorial en el sentido de las agujas del reloj : “Si dibujamos los vectores de modo que sus comienzos coincidan y giramos el primer vector multiplicador de la manera más corta hacia el segundo vector multiplicador y miramos desde el otro lado de modo que que esta rotación es en el sentido de las agujas del reloj para nosotros flecha, el vector-producto se alejará de nosotros (tornillo profundamente en el reloj).

Regla de la mano derecha para productos cruzados (primera opción) : “Si dibujas los vectores de manera que sus comienzos coincidan y rotas el primer vector multiplicador de la manera más corta al segundo vector multiplicador, y cuatro dedos de la mano derecha muestran la dirección de rotación (como si cubriera un cilindro giratorio), el pulgar que sobresale mostrará la dirección del vector del producto.

Regla de la mano derecha para un producto vectorial (segunda opción) : “Si dibujas los vectores de modo que sus comienzos coincidan y apuntas con el primer dedo (pulgar) de la mano derecha a lo largo del primer vector factor, el segundo (índice) a lo largo del segundo factor vector, entonces el tercero (medio) mostrará (aproximadamente) la dirección del vector-producto” (ver figura).

Con respecto a la electrodinámica, la corriente (I) se dirige a lo largo del pulgar, el vector de inducción magnética (B) se dirige a lo largo del dedo índice y la fuerza (F) se dirigirá a lo largo del dedo medio. Nemotécnicamente, la regla es fácil de recordar por la abreviatura FBI (force, induction, current o Oficina Federal de Investigaciones (FBI) traducida del inglés) y la posición de los dedos, que recuerda a una pistola.

Para bases

Todas estas reglas pueden, por supuesto, reescribirse para determinar la orientación de las bases. Reescribamos solo dos de ellos:

Regla de la mano derecha para la base : “Si en la base (que consta de vectores a lo largo de los ejes x, y, z ), el primer dedo (pulgar) de la mano derecha se dirige a lo largo del primer vector base (es decir, a lo largo de la x eje ), el segundo (índice) a lo largo del segundo (es decir, a lo largo del eje y ), y el tercero (medio) se dirigirá (aproximadamente) en la dirección del tercero (a lo largo de z ), entonces esta es la base correcta (como resultó en la figura).

Regla de la barrena (tornillo) para la base : “Si rotas la barrena y los vectores de modo que el primer vector base tienda al segundo de la manera más corta posible, entonces la barrena (tornillo) se enroscará en la dirección del tercer vector base, si esta es la base correcta.”

Todo esto, por supuesto, corresponde a una extensión de la regla habitual para elegir la dirección de las coordenadas en el plano (x está a la derecha, y está arriba, z está sobre nosotros). Esta última puede ser otra regla mnemotécnica que puede sustituir a la regla de barrena, mano derecha, etc. que queremos definir, y puede ampliarse de cualquier forma).

Enunciados de la regla de la barrena (tornillo) o la regla de la mano derecha para casos especiales

Se mencionó anteriormente que todas las diversas formulaciones de la regla de la barrena (tornillo) o la regla de la mano derecha (y otras reglas similares), incluidas todas las mencionadas a continuación, no son necesarias. No es necesario saberlos si conoces (al menos en una de las opciones) la regla general descrita anteriormente y conoces el orden de los factores en fórmulas que contienen un producto vectorial.

Sin embargo, muchas de las reglas que se describen a continuación se adaptan bien a casos especiales de su aplicación y, por lo tanto, pueden ser bastante convenientes y fáciles para determinar rápidamente la dirección de los vectores en estos casos [f] .

Regla de la mano derecha o barrena (tornillo) para velocidad de rotación mecánica

Regla de la mano derecha o barrena (tornillo) para la velocidad angular

Se sabe que el vector velocidad de un punto dado está asociado al vector velocidad angular y al vector trazado de un punto fijo a uno dado, como su producto vectorial:

Obviamente, por lo tanto, la regla del tornillo y la regla de la mano derecha descritas anteriormente para el producto vectorial son aplicables para determinar la dirección del vector de velocidad angular. Sin embargo, en este caso, las reglas se pueden formular de una forma aún más sencilla y memorable, ya que estamos hablando de una rotación muy real:

Regla de la barrena (tornillo): "Si giras el tornillo (tornillo) en la dirección en la que gira el cuerpo, se enroscará (o desenroscará) en la dirección en la que se dirige la velocidad angular".

Regla de la mano derecha: “Si imaginamos que tomamos el cuerpo con nuestra mano derecha y lo giramos en la dirección en la que apuntan cuatro dedos, entonces el pulgar que sobresale apuntará en la dirección en la que se dirige la velocidad angular durante dicha rotación”.

La regla de la mano derecha o barrena (tornillo) para el momento angular

Las reglas para determinar la dirección del momento angular son completamente similares , lo que no es de extrañar, ya que el momento angular es proporcional a la velocidad angular con un coeficiente positivo [g] .

La regla de la mano derecha o barrena (tornillo) para el momento de fuerzas

Para el momento de las fuerzas (torque)

las reglas también son generalmente similares, pero las formulamos explícitamente.

Regla de la barrena (tornillo): “Si giras el tornillo (tornillo) en la dirección en la que las fuerzas tienden a girar el cuerpo, el tornillo se enroscará (o desenroscará) en la dirección en la que se dirige el momento de estas fuerzas”.

Regla de la mano derecha: “Si imaginamos que tomamos el cuerpo con nuestra mano derecha y estamos tratando de girarlo en la dirección en la que apuntan cuatro dedos (las fuerzas que intentan girar el cuerpo están dirigidas en la dirección de estos dedos), entonces el pulgar que sobresale apuntará en la dirección hacia donde se dirige el torque (momento de estas fuerzas).

Regla de la mano derecha y barrena (tornillo) en magnetostática y electrodinámica

Para inducción magnética ( ley de Biot-Savart )

Regla de la barrena (tornillo): “Si la dirección del movimiento de traslación de la barrena ( tornillo ) coincide con la dirección de la corriente en el conductor, entonces la dirección de rotación del mango de la barrena coincide con la dirección del vector de inducción magnética de el campo creado por esta corriente.”

Regla de la mano derecha: "Si agarra el conductor con la mano derecha de modo que el pulgar que sobresale indique la dirección de la corriente, los dedos restantes mostrarán la dirección de las envolturas del conductor de las líneas de inducción magnética del campo creado por esta corriente, y por lo tanto la dirección del vector de inducción magnética , dirigido en todas partes tangencialmente a estas líneas".

Para el solenoide

Regla de la mano derecha: "Si sujeta el solenoide con la palma de la mano derecha de modo que cuatro dedos se dirijan a lo largo de la corriente en las vueltas, el pulgar apartado mostrará la dirección de las líneas del campo magnético dentro del solenoide".

Para corriente en un conductor que se mueve en un campo magnético

La regla de la mano derecha: "Si la palma de la mano derecha se coloca de modo que incluya las líneas de fuerza del campo magnético, y el pulgar doblado se dirige a lo largo del movimiento del conductor, entonces cuatro dedos extendidos indicarán el dirección de la corriente de inducción".

Para las ecuaciones de Maxwell

Dado que la operación del rotor (denominada rot ) utilizada en las dos ecuaciones de Maxwell se puede escribir formalmente como un producto vectorial (con el operador nabla ), y lo que es más importante porque el rotacional de un campo vectorial se puede comparar (es una analogía) con el angular velocidad [h] de rotación de un fluido, cuyo campo de velocidad de flujo representa un campo vectorial dado, podemos usar para el rotor aquellas formulaciones de la regla que ya se han descrito anteriormente para la velocidad angular.

Por lo tanto, si gira el gimlet en la dirección del campo del vector giratorio, entonces girará en la dirección del vector del rotor de este campo. O: si apunta los cuatro dedos de su mano derecha, cerrados en un puño, en la dirección del remolino, entonces el pulgar doblado mostrará la dirección del rotor.

De aquí se siguen las reglas de la ley de la inducción electromagnética , por ejemplo: “Si señala con el pulgar doblado de la mano derecha la dirección del flujo magnético a través del circuito, si aumenta, y la dirección opuesta, si disminuye, entonces los dedos doblados que cubren el circuito mostrarán la dirección opuesta (desde - para el signo menos en la fórmula) a la dirección de la EMF en este circuito, inducida por el flujo magnético cambiante.

Las reglas para la ley de Ampère-Maxwell generalmente coinciden con las reglas dadas anteriormente para el vector de inducción magnética creado por la corriente, solo que en este caso es necesario agregar a la corriente eléctrica a través del circuito el flujo de la tasa de cambio de el campo eléctrico a través de este circuito y hablar sobre el campo magnético en términos de su circuito de circulación.

Reglas de la mano izquierda

Primera regla de la mano izquierda

Si la palma de la mano izquierda se coloca de modo que las líneas de inducción del campo magnético entren en el lado interno de la palma, perpendicular [i] a ella, y cuatro dedos se dirijan a lo largo de la corriente, entonces el pulgar se aparta 90 ° indicará la dirección de la fuerza que actúa del campo magnético sobre el conductor con corriente. Esta fuerza se llama fuerza Ampère . Es la regla de la mano izquierda para la corriente.

La segunda regla de la mano izquierda

Si la carga se mueve y el imán está en reposo, entonces se aplica la regla de la mano izquierda para determinar la dirección de la fuerza: “Si la mano izquierda se coloca de modo que las líneas de inducción del campo magnético entren en el lado interno de la palma perpendicular a él, y cuatro dedos se dirigen a lo largo de la corriente (positivamente a lo largo del movimiento de una partícula cargada o contra el movimiento de una cargada negativamente), luego el pulgar separado por 90 ° mostrará la dirección de la fuerza de actuación de Lorentz o Ampère .

Ejemplos

Véase también

Comentarios

  1. ↑ Detalles matemáticos del concepto general de orientación de la base, que se discute aquí, ver el artículo Orientación .
  2. ↑ Esto significa que otras reglas también pueden ser convenientes en cualquier número, pero su uso no es necesario.
  3. ↑ La definición de dirección aquí en todas partes significa la elección de una de dos direcciones opuestas (la elección entre solo dos vectores opuestos), es decir, se reduce a la elección de una dirección positiva.
  4. ↑ Puedes comprobar que en general esto es cierto, basándote en la definición elemental de un producto vectorial: Un producto vectorial es un vector perpendicular a ambos vectores factor, e igual en tamaño (longitud) al área de un paralelogramo . Lo mismo, cuál de los dos posibles vectores perpendiculares a los dos dados, elegir, y allí está el tema del texto principal, allí se indica la regla que le permite hacer esto y complementa la definición dada aquí.
  5. ↑ La rosca izquierda se usa en la tecnología moderna solo cuando el uso de una rosca derecha conllevaría el peligro de un desenroscado espontáneo bajo la influencia de la rotación constante de esta parte en una dirección, por ejemplo, una rosca izquierda El hilo se usa en el extremo izquierdo del eje de una rueda de bicicleta. Además, las roscas a la izquierda se utilizan en reguladores y cilindros de gas combustible para evitar conectar un regulador de gas combustible al cilindro de oxígeno .
  6. ↑ En particular, pueden ser en sus casos más convenientes que la regla general, e incluso a veces formulados de manera lo suficientemente orgánica como para ser especialmente fáciles de recordar; lo cual, sin embargo, no parece hacer que recordarlos todos sea más fácil que recordar solo una regla general.
  7. ↑ Incluso si estamos tratando con un cuerpo bastante asimétrico (y ubicado asimétricamente con respecto al eje de rotación), de modo que el coeficiente de proporcionalidad entre la velocidad angular y el momento angular es el tensor de inercia, que no es reducible a un coeficiente numérico , y el vector de momento angular generalmente no es paralelo al vector de velocidad angular , sin embargo, la regla funciona en el sentido de que la dirección se indica aproximadamente, pero esto es suficiente para elegir entre dos direcciones opuestas.
  8. ↑ Estrictamente hablando, con esta comparación también hay un coeficiente constante de 2, pero esto no es importante en este tema, ya que ahora estamos hablando solo de la dirección del vector, y no de su magnitud.
  9. ↑ No es un requisito.

Fuentes

Enlaces