Ejemplo de Furstenberg

El ejemplo de Furstenberg es un ejemplo de un sistema dinámico suave en un toro bidimensional que es mínimo pero no ergódico con respecto a la medida de Lebesgue.

Contexto histórico

Una conocida conjetura, formulada en los años 70 por muchos autores, afirma que para que un grupo finitamente generado de difeomorfismos actúe sobre un círculo, la minimalidad (es decir, la ausencia de subconjuntos cerrados invariantes no triviales) implica ergodicidad (es decir, la ausencia de de subconjuntos medibles invariantes no triviales). Para el caso de un solo difeomorfismo del círculo, esta conjetura fue probada simultáneamente por Katk [1] y Ehrman [2] , para el caso de acciones de "dilatación local ilimitada" por Sullivan. $C^{2}$

El ejemplo de Furstenberg muestra que la afirmación de esta conjetura no puede generalizarse al caso de un espacio de fase bidimensional, incluso para el caso de un único difeomorfismo.

Construcción

El ejemplo de Furstenberg está construido en la clase de productos sesgados : tiene la forma

F:\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2},\qquad (x ,y)\mapsto (x+\alpha ,y+\varphi (x))

((*))

donde el ángulo es irracional. $\alfa$

Para un sistema de la forma (*), la condición de que el mapeo lo conjugue con un "desplazamiento constante" es la ecuación homológica $H:(x,y)\mapsto (x,yh(x))$ ${\ estilo de visualización (x, y) \ mapas a (x + \ alfa, y + \ beta)}$

{\ estilo de visualización \ varphi (x) - \ beta = h (x + \ alfa) - h (x)}

((**))

Una condición necesaria para su solucionabilidad es la igualdad . $\beta =\int _{0}^{1}\varphi(x)\,dx$

Considere una función con una integral cero. Entonces, para que una aplicación sea no ergódica , basta con conjugarla mediblemente con una "rotación horizontal" (ya que esta última conserva todos los círculos horizontales y, por lo tanto, es obviamente no ergódica). Por otro lado, la presencia de una solución medible, pero no continua, de una ecuación homológica todavía no implica una violación de la minimalidad. Además, resulta (ver más abajo) que el mapeo es mínimo si y solo si la ecuación (**) no tiene soluciones continuas. Por lo tanto, basta con construir un ejemplo de una función y un ángulo para los cuales la ecuación (**) tendrá solo una solución medible, pero no continua. $\varfi(x)$ $F$ $(x,y)\mapsto (x+\alpha,y)$ $F$ $\varphi$ $\alfa$

Pero los coeficientes de Fourier de la función h se buscan de (**) explícitamente:

c_{k}(h)={\frac {c_{k}(\varphi )}{e^{2\pi ik\alpha }-1)).

Por lo tanto, la solución es única, y el problema de construcción se puede resolver de la otra manera: encontrar una función medible pero no continua y un ángulo irracional tal que la función con coeficientes de Fourier $h$ $h$ $\alfa$ $\varphi$

c_{k}(\varphi )=(e^{2\pi ik\alpha }-1)\cdot c_{k}(h)

sería infinitamente suave.

Para hacer esto, uno puede elegir un ángulo que se aproxime racionalmente lo suficientemente bien, y elegir sucesivamente los coeficientes de Fourier de la función en los lugares k correspondientes a buenas aproximaciones de , destruyendo la continuidad de h, pero preservando la suavidad de . $\alfa$ $h$ $\alfa$ $\varphi$

Prueba de minimalidad

Sea el conjunto mínimo del producto sesgado dado por (*). Entonces, por un lado, (debido a la minimalidad de la rotación irracional) debe proyectarse sobre todo el círculo cuando se proyecta. ${\displaystyle X\subconjunto \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2))$ $F$ $X$ ${\ estilo de visualización (x, y) \ mapas a x}$

Por otro lado, el mapeo conmuta con "desplazamientos verticales" . Por lo tanto, todos los conjuntos también son mínimos. Finalmente, dos conjuntos mínimos no se cortan o coinciden. Por lo tanto, el grupo de "autocoincidencias verticales" del conjunto $F$ $T_{b}:(x,y)\mapsto (x,y+b)$ ${\ estilo de visualización X_ {b}: = T_ {b} (X)}$ $X$

G:=\{b\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} \mid T_{b}(X)=X\}=\{b\in \mathbb {R} /\mathbb { Z} \mid X_{b}\cap X\neq \emptyset \}

es un subgrupo cerrado del círculo, y coincide con el grupo de autocoincidencia de la intersección con cualquier círculo "vertical" . $X$ ${\ estilo de visualización \ {x = x_ {0} \}}$

Como es un subgrupo cerrado del círculo, puede consistir en: $GRAMO$

o solo desde cero,
o de un número finito de elementos, en este caso , $k>1$ ${\displaystyle G=\{0,1/k,\dots,(k-1)/k\))$
o coincidir con todo el círculo.

Dado que el grupo es también el grupo de autocoincidencia de cualquier "sección vertical" , y la proyección sobre el eje es la circunferencia entera, en el primer caso es la gráfica de alguna función continua . ¡ Pero la gráfica de una función continua es invariante si y solo si la aplicación correspondiente conjuga el sistema con un desplazamiento horizontal! En particular, en ausencia de tal conjugación, el primer caso es imposible. $GRAMO$ $X\cap \{x=x_{0}\}$ $X$ $X$ $X$ $h:S^{1}\a S^{1}$ $H:(x,y)\mapsto (x,yh(x))$

A partir de consideraciones similares, es fácil ver que el segundo caso corresponde a un gráfico multivalor invariante (definido hasta ), del cual se sigue de la minimalidad que el "vector de desplazamiento" tiene una pendiente distinta de cero (con una tangente de la forma ), por lo que el valor promedio en el círculo no es igual a cero. $1/k$ $p/k,\,p\neq 0$ $\varphi$

Finalmente, la última opción significa que X coincide con todo el toroide (porque su intersección con cualquier círculo vertical no está vacía y se autocoincide con cualquier rotación); por lo tanto, el mapeo F es mínimo.

Notas

↑ ver: Katok AB , Hasselblat B. Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos / trad. De inglés. A. Kononenko con la participación de S. Ferleger. - M. : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .
↑ M. Herman. Sur la conjugaison differentiable des difeomorphismes du cercle a des rotaciones. publ. Matemáticas. de l'IHES 49 (1979), p. 5-234.

Literatura

H. Fürstenberg. Ergodicidad estricta y transformaciones del toro. amer Matemáticas J. 83 (1961), pág. 573-601
A. Katok, B. Hasselblatt, Manual de sistemas dinámicos, v.1, pág. 172, Corolario 7.5.4 .