Coseno elevado (filtro)
El filtro de coseno elevado (PCF) es un filtro electrónico especial que se encuentra a menudo en los sistemas de telecomunicaciones debido a su capacidad para minimizar la distorsión entre símbolos (ISI). Su nombre proviene del hecho de que la parte distinta de cero del espectro de frecuencia en su forma más simple ( ) es una onda coseno elevada de manera que se "asienta" en el eje horizontal .
Descripción matemática
FPC es una implementación de Nyquist LPF , es decir, tiene la propiedad de simetría parcial. Esto significa que su espectro tiene una extraña simetría con respecto a , donde es la duración del símbolo en el sistema de comunicación.
Para describirlo en el dominio de la frecuencia, se utiliza una función por partes , dada por la fórmula:
![{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1.0,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[ 1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right], &{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{de lo contrario}}\end{casos} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cae5e6f9d08904a542faeeef5a7450d1fe5299)
y se caracteriza por dos valores; es el coeficiente de suavizado y es el recíproco de la tasa de símbolos.
La respuesta de impulso del filtro se describe mediante la fórmula:
, expresado en términos de funciones sinc normalizadas.
Factor de suavizado
El factor de suavizado es una medida de la redundancia de banda de paso de un filtro, es decir, la banda de frecuencia fuera de la banda de Nyquist . Si denotamos la redundancia de banda por , entonces:
donde es la tasa de símbolo.
El gráfico muestra la respuesta de frecuencia al cambiar de 0 a 1, y el efecto correspondiente en la respuesta de impulso. Como puede verse, en el dominio del tiempo, la cantidad de ondulación aumenta a medida que . Esto indica que la redundancia de la banda del filtro se puede reducir, pero solo alargando la respuesta de impulso.
Tan pronto como llega a 0, la zona de suavizado se vuelve lo más estrecha posible, por lo tanto:
donde es una función rectangular, la respuesta al impulso se convierte en .
Por lo tanto, tiende hacia un filtro perfecto o rectangular en este caso.
Cuando , la parte distinta de cero del espectro es un coseno elevado puro, lo que lleva a una simplificación:
![{\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\ derecha)\derecha],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{de lo contrario}}\end{matriz}}\derecha.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebb76ea6228298ccfcba8c180b1789ca214406c)
Ancho de banda
El ancho de banda de FPC generalmente se define como el ancho de la parte distinta de cero del espectro, es decir:
Aplicaciones
Cuando se usa para filtrar un flujo de caracteres, el filtro de Nyquist tiene una propiedad de eliminación ISI ya que su respuesta de impulso es 0 en total (donde es un número entero) excepto .
Por lo tanto, si la señal transmitida se muestrea correctamente en el receptor, los valores del símbolo original se pueden recuperar por completo.
Sin embargo, en la mayoría de los sistemas de comunicación prácticos, se debe usar un filtro adaptado en el receptor debido a los efectos del ruido blanco. Esto introduce las siguientes restricciones:
eso es:
Para satisfacer esta condición, y manteniendo la condición de no-ISI, la raíz del FPC se suele aplicar en cada extremo del sistema de comunicación. En tal caso, la respuesta global del sistema es un coseno elevado.
Literatura
- Glover, I.; Subvención, P. (2004). Comunicaciones digitales (2ª ed.). Pearson Educación Ltd. ISBN 0-13-089399-4 .
- Proakis, J. (1995). Comunicaciones digitales (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 .