Problema jacobiano

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El problema jacobiano es un problema sobre las propiedades de los polinomios en varias variables.

Condiciones

Considere un conjunto de polinomios con coeficientes complejos en variables : ${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$

f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (una)

Suponga que para cualquier conjunto el sistema de ecuaciones ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\en \mathbb {C} ^{N))$

f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}

tiene una solución única y existen tales polinomios ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})\en \mathbb {C} ^{N))$

g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\en \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N }]

que cada uno Se supone que los polinomios son independientes del conjunto de términos libres . Esto es equivalente al hecho de que cada polinomio de se representa únicamente como un polinomio de (y de ). El sistema (1) define un mapeo polinomial , bajo el cual $a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...,g_{N))$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\en \mathbb {C} ^{N))$ $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ ${\ estilo de visualización f_{1},f_{2},...f_{N))$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...g_{N))$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N))$

f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1} ,...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},... ,b_{N})\en \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)

El mapeo es uno a uno. Además, el mapeo inverso , que se traduce en $F$ $f^{-1}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\en \mathbb {C} ^{N))$

f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2} (b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2 },...,a_{N})\en \mathbb {C} ^{N}

también es polinomio.

Asociar una aplicación polinomial arbitraria de la forma (2) con una matriz cuadrada (jacobiana de la aplicación ) de tamaño , en la que la derivada parcial está en su lugar . Definimos otra aplicación de polinomios y consideramos su composición , cuya matriz de Jacobi es igual a $F$ $J(f)({\overline {X)))$ $norte$ $(yo, j)$ $\parcial f_{i}/\parcial X_{J}$ $h:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow C^{N}$ $fh$

J(fh)({\overline {X)))=J(f)(h({\overline {X))))J(h)({\overline {X))))

Calculando los determinantes, obtenemos que

\det(J(fh))({\overline {X)))=\det(J(f))(h({\overline {X))))\det(J(h))( {\overline {X)))

En particular, si se dan mapeos polinómicos y , entonces su composición es el mapeo de identidad. Por lo tanto, la matriz identidad , luego al pasar al determinante, la unidad es igual al producto de polinomios, por lo tanto, estos polinomios son iguales a constantes, en particular, $F$ $f^{{-1}}$ $E=J(f^{-1}f)({\overline {X)))=J(f^{-1})(f({\overline {X))))J(f) ({\sobrelínea {X)))$

\det(J(f))({\overline {X)))

es una constante distinta de cero.

Redacción

El problema jacobiano consiste en resolver el problema inverso. Sea dada una aplicación polinomial de la forma (2), y sea una constante distinta de cero. ¿Es cierto que hay un mapeo polinomial inverso? ¿Es posible representar cada polinomio en como un polinomio en ? $F$ ${\ estilo de visualización \ det (J (f))}$ $C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ $f_{1},f_{2},...,f_{n}$

Resultados

Hasta 2022, el problema se resolvió para el caso en que los grados de y no sean mayores de 150, y también si los hay pero los grados de todos los polinomios no son mayores de 2. [1] Además, para demostrar una afirmación general, era suficiente probarlo para el caso en que cada uno sea un polinomio de grado máximo 3 [1] . $N=2$ $f_{1},f_{2}$ $norte$ $f_{1},f_{2},...,f_{N}$ $f_{i}$

Notas

↑ 1 2 Kostrikin, "Introducción al álgebra", v.1, págs. 259-260

Literatura

V. A. Artamonov Sobre problemas resueltos y abiertos en la teoría de polinomios // Soros Educational Journal , 2001, n.° 3, p. 110-113;