Programa Hilbert
El programa matemático de Hilbert fue formulado por el matemático alemán David Hilbert a principios del siglo XX. Hilbert sugirió que la consistencia de sistemas más complejos, como la teoría de funciones de una variable real , podría probarse en términos de sistemas más simples. En última instancia, según su sugerencia, la consistencia de todas las matemáticas se puede reducir a la aritmética simple .
El teorema de incompletitud de Gödel mostró que el programa de Hilbert no se aplicaba a la mayoría de las áreas de las matemáticas.
Las principales declaraciones del programa de Hilbert
El objetivo principal del programa de Hilbert era proporcionar una base sólida para todas las matemáticas. En particular, esto debería incluir:
- La Formulación de Todas las Matemáticas ; en otras palabras, todos los enunciados matemáticos deben escribirse en un lenguaje formal preciso y administrarse de acuerdo con reglas bien definidas.
- Completitud : una prueba de que todos los enunciados matemáticos verdaderos pueden probarse formalmente.
- Consistencia : una prueba de que no se puede obtener ninguna contradicción en el formalismo de las matemáticas. Esta prueba de consistencia debe usar preferiblemente solo razonamiento "finito" sobre objetos matemáticos finitos.
- Conservación : probar que cualquier resultado sobre "objetos reales" obtenido usando razonamiento sobre "objetos ideales" (como innumerables conjuntos) puede probarse sin usar objetos ideales.
- Decidibilidad algorítmica : existe un algoritmo para determinar la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático.
Véase también
Literatura
- G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112: 493-565. Traducido como 'La consistencia de la aritmética', en Los artículos recopilados de Gerhard Gentzen , ME Szabo (ed.), 1969.
- D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104: 485-94. Traducido por W. Ewald como 'The Grounding of Elementary Number Theory', págs. 266-273 en Mancosu (ed., 1998) De Brouwer a Hilbert: El debate sobre los fundamentos de las matemáticas en la década de 1920 , Oxford University Press. Nueva York.
- SG Simpson, 1988. Realizaciones parciales del programa de Hilbert . Revista de Lógica Simbólica 53:349-363.
- R. Zach , 2006. El programa de Hilbert antes y ahora. Filosofía de la lógica 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].