Función sencilla

Una función simple es una función medible que toma un número finito de valores.

Definición

Una función definida en un espacio medible se llama simple si existe una partición en un número finito de conjuntos medibles que no se cruzan y un conjunto de números (generalmente reales o complejos) tales que para cualquier . $F$ $(X,{\mathcal {F}})$ $X$ $A_1,\puntos,A_n$ $a_1,\puntos,a_n$ ${\ Displaystyle f (x) = a_ {i))$ ${\ Displaystyle x \ en A_ {i}}$

Notas

Si es un espacio de probabilidad , entonces una función simple se llama variable aleatoria simple . $(X,{\mathcal {F)))\equiv (\Omega,{\mathcal {F)))$
Si es un espacio con medida , sencillo y $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f:X\to \mathbb {R}$

f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X

y ,

\mu (A_{i})<\infty,\forall i=1,\ldots,n

entonces Lebesgue integrable , y

F

\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})

Ejemplo

Sea , donde está el sigma-álgebra de Borel en , y es la medida de Lebesgue . Entonces la función $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\matemáticas {R}$ $metro$

f(x)=\left\{{\begin{matriz}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matriz}}\right.,x\ en \mathbb {R}

simple, porque es medible y toma tres valores diferentes.

Literatura

Rudin, U. Fundamentos del análisis matemático = Principios del análisis matemático / Traducido del inglés. V. P. Khavin . - M. : Mir, 1966. - 319 p.