Descomposición de Engel

La descomposición de Engel de un número real positivo x es la única secuencia no decreciente de números naturales positivos tal que ${\ estilo de visualización \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ puntos \))$

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cpuntos .\;

Los números racionales tienen una expansión de Engel finita y los números irracionales tienen una expansión de serie infinita. Si x es racional, su expansión de Engel da una representación de fracción egipcia de x . La descomposición lleva el nombre del matemático Friedrich Engel , quien la estudió en 1913 .

Una descomposición similar a la descomposición de Engel , pero con los términos invertidos, se llama descomposición de Peirce .

Expansión de Engel, fracciones continuas y Fibonacci

Kraeikamp y Wu [1] notaron que la expansión de Engel se puede escribir como una variante de fracción continua ascendente :

x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3)))){\displaystyle a_{2)) }}{\displaystyle a_{1}}}}.

Afirman que las fracciones continuas ascendentes como esta se han estudiado desde la época del ábaco de Fibonacci (1202). Esta declaración se refiere a la notación de fracción compleja de Fibonacci, en la que una secuencia de numeradores y denominadores que comparten el mismo rasgo representan una fracción continua ascendente:

{\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h))={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e} }}{f}}}{g}}}{h}}.

Si en esta notación todos los numeradores son 0 o 1, como aparece en algunos lugares del libro del ábaco , el resultado es una expansión de Engel. Sin embargo, la descomposición de Engel como técnica no se describe en el libro.

Algoritmo para computar expansiones de Engel

Para encontrar el desarrollo de Engel para x , ponemos

u_{1}=x,

a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k))}\right\lceil ,

u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1

donde es el techo (el entero más pequeño no menor que r ). $\left\lceil r\right\rceil$

Si para algún i , detenemos el algoritmo. ${\ estilo de visualización u_ {i} = 0}$

Ejemplo

Para encontrar la expansión de Engel para el número 1.175, realizaremos los siguientes pasos.

u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{ ,}175}}\derecho\rceil=6

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1 }{0{,}05}}\right\rceil =20

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0

La secuencia ha terminado. De este modo,

1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}

y la expansión de Engel para 1.175 es {1, 6, 20}.

Descomposición de Engel de números racionales

Cualquier número racional positivo tiene una expansión de Engel finita única. En el algoritmo de descomposición de Engel, si u i es un número racional x / y , entonces u i +1 = (− y mod x )/ y . Así, cada paso reduce el numerador en el resto u i y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar después de un número finito de pasos. Cualquier número racional también tiene una única expansión infinita de Engel: usando la igualdad

{\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.

el último número n en la expansión finita de Engel se puede reemplazar por una secuencia infinita ( n + 1) sin cambiar el valor. Por ejemplo,

1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\puntos \}.\;\;

Esto es análogo al hecho de que cualquier número racional con una representación decimal finita tiene una representación decimal infinita (ver 0,(9) ). Una expansión infinita de Engel en la que todos los elementos son iguales es una progresión geométrica .

Erdős , Renyi y Szüsz preguntaron acerca de los límites no triviales de la longitud del desarrollo finito de Engel de la fracción racional x / y . Esta pregunta fue respondida por Erdős y Schallit demostrando que el número de términos de expansión es O( y 1/3 + ε ) para cualquier ε > 0 [2] [3] .

Expansión de Engel para algunas constantes bien conocidas

\Pi

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (secuencia A006784 en OEIS )

{\ sqrt {2}}

= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (secuencia A028254 en OEIS )

mi

= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (secuencia A000027 en OEIS )

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;

Más expansiones de Engel se pueden encontrar aquí .

La tasa de crecimiento de los elementos de descomposición

Los coeficientes a i de la expansión de Engel, por regla general, tienen un crecimiento exponencial . Más precisamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límite existe y es igual a e . Sin embargo, el subconjunto del intervalo para el que esto no se cumple es lo suficientemente grande como para que su dimensión de Hausdorff sea uno [4 ] . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty}a_{n}^{1/n))$

El mismo crecimiento típico se observa en los términos generados por el algoritmo voraz para fracciones egipcias . Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1), cuya expansión de Engel coincide con su expansión por el algoritmo voraz, tiene medida cero y dimensión de Hausdorff 1/2 [5] .

Notas

↑ Kraaikamp, Wu, 2004 .
↑ Erdős, Renyi, Szüsz, 1958 .
↑ Erdős, Shallit, 1991 .
↑ Wu, 2000 , Según Wu, el resultado sobre la igualdad del límite e para casi todos los números se debe a Janos Galambos.
↑ Wu, 2003 .

Literatura

F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner en Marburgo. - 1913. - S. 190-191.
T. A. Pierce. Sobre un algoritmo y su uso en la aproximación de raíces de ecuaciones algebraicas // Am. Matemáticas. Mensual. - 1929. - T. 36 , N º 10 . - S. 523-525 . — .
Paul Erdős, Alfred Rényi, Peter Szüsz. Sobre la serie de Engel y Sylvester // Ann. Universidad ciencia budapest Secta Eötvös. Matemáticas.. - 1958. - T. 1 . - S. 7-32 .
Paul Erdös, Jeffrey Shallit. Nuevos límites en la longitud de series finitas de Pierce y Engel // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1991. - Vol. 3 , número. 1 . - S. 43-53 . -doi : 10.5802 / jtnb.41 .
J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Aproximación a los irracionales cuadráticos y sus expansiones de Pierce // Fib. Cuarto .. - 1998. - T. 36 , No. 2 . - S. 146-153 .
Cor Kraaikamp, Jun Wu. Sobre una nueva expansión de fracciones continuas con cocientes parciales no decrecientes // Monatshefte für Mathematik. - 2004. - T. 143 , núm. 4 . - S. 285-298 . -doi : 10.1007/ s00605-004-0246-3 .
Jun Wu. Un problema de Galambos sobre expansiones de Engel // Acta Arithmetica. - 2000. - T. 92 , núm. 4 . - S. 383-386 .
Jun Wu. ¿Cuántos puntos tienen las mismas expansiones de Engel y Sylvester? // Revista de teoría de números. - 2003. - T. 103 , núm. 1 . - S. 16-26 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Engel Expansión . MathWorld: un recurso web de Wolfram. (indefinido)