Serie de Leibniz

La serie de Leibniz es una serie alterna que lleva el nombre del matemático alemán Leibniz que la estudió (aunque esta serie se conocía antes):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty}\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

La convergencia de esta serie se sigue inmediatamente del teorema de Leibniz para series alternas . Leibniz demostró que la suma de una serie es igual a Este descubrimiento mostró por primera vez que el número , originalmente definido en geometría, es de hecho una constante matemática universal ; en el futuro, este hecho encontró constantemente nuevas confirmaciones. ${\frac{\pi}{4}}.$ $\Pi$

Tasa de convergencia

La serie de Leibniz converge extremadamente lentamente. La siguiente tabla ilustra la tasa de convergencia a una serie multiplicada por 4. $\Pi$

n (número de miembros de la serie)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (suma parcial, los caracteres correctos están resaltados en negro)	Precisión relativa
2	2.666666666666667	0.848826363156775
cuatro	2.895238095238095	0.921582908570213
ocho	3.017071817071817 _	0.960363786700453
dieciséis	3.079153394197426 _	0.980124966449415
32	3.1 10350273698686	0.990055241612751
64	3.1 25968606973288	0.995026711499770
100	3.1 31592903558553	0.996816980705689
1000	3.14 0592653839793	0.999681690193394
10,000	3.141 492653590043	0.999968169011461
100,000	3.1415 82653589793	0.999996816901138
1,000,000	3.14159 1653589793	0.999999681690114
10,000,000	3.141592 553589793	0.999999968169011
100,000,000	3.1415926 43589793	0.999999996816901
1,000,000,000	3.14159265 2589793	0.999999999681690

Historia

La serie de Leibniz es fácil de obtener a través de la expansión del arco tangente en una serie de Taylor [1] :

\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

Poniendo obtenemos la serie de Leibniz. ${\ estilo de visualización x = 1,}$

La serie de Taylor para el arco tangente fue descubierta por primera vez por el matemático indio Madhava de Sangamagrama , el fundador de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala (siglo XIV). Madhava usó la serie [2] [3] para calcular el número . Sin embargo, la serie de Leibniz, como se muestra arriba, converge extremadamente lentamente, por lo que Madhava puso y obtuvo una serie convergente mucho más rápida [4] : $\Pi$ ${\ estilo de visualización x = 1,}$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\dots \right).

La suma de los primeros 21 términos da el valor , y todos los signos, excepto el último, son correctos [5] . ${\ estilo de visualización 3{,} 14159265359}$

El trabajo de Madhava y sus discípulos no se conocía en la Europa del siglo XVII, y la expansión del arco tangente fue redescubierta de forma independiente por James Gregory (1671) y Gottfried Leibniz (1676). Por lo tanto, algunas fuentes sugieren llamar a esta serie "serie Madhava-Leibniz" o "serie Gregory-Leibniz". Gregory, sin embargo, no conectó esta serie con el número $\Pi.$

Aceleración de la convergencia

Otra modificación de la serie de Leibniz, que la hace prácticamente apta para el cálculo , es la unión por pares de los términos de la serie. Como resultado, obtenemos la siguiente fila: $\Pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty}\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

Para optimizar aún más los cálculos, puede aplicar la fórmula de Euler-Maclaurin y utilizar métodos de integración numérica .

Véase también

serie armónica

Notas

↑ Fikhtengolts, 2003 , pág. 401.
↑ Paplauskas A. B. Período pre-newtoniano de desarrollo de series infinitas. Parte I // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal y MS Rangachari. Sobre una fuente sin explotar de las matemáticas medievales de Kerales (inglés) // Archivo de Historia de las Ciencias Exactas : revista. - 1978. - junio ( vol. 18 ). - P. 89-102 . -doi : 10.1007/ BF00348142 .
↑ El ubicuo número "pi", 2007 , p. 47.
↑ RC Gupta. Madhava y otros valores indios medievales de pi // Matemáticas . Educación. - 1975. - vol. 9 , núm. 3 . -P.B45 - B48 .

Literatura

Zhukov A. V. El omnipresente número "pi". - 2ª ed. - M. : Editorial LKI, 2007. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Gregory Series (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux