Sigma medida finita

Una medida sigma-finita en el análisis funcional es una medida tal que todo el espacio se puede representar como una unión contable de conjuntos medibles de medida finita.

Definición

Que sea un espacio con medida . Una medida se llama σ-finita si existe una familia contable de conjuntos medibles , tal que y $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu$ $\{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subconjunto \mathcal{F}$ $\mu(A_i) < \infty,\; yo\en \mathbb{N}$

X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i

Ejemplos

La medida de Lebesgue en es σ-finita ya que $metro$ $\matemáticas {R}$

\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots

Una medida contable sobre , es decir, que no sea σ-finita, porque la unión contable de cualquier conjunto de medida finita en este caso será contable, mientras que todo el espacio es incontable. $\mu$ $\matemáticas {R}$ $\mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R}$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S.V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág.