Símbolo de Kronecker - Jacobi

El símbolo de Kronecker-Jacobi es una función utilizada en teoría de números . A veces denominado símbolo de Legendre-Jacobi-Kronecker o simplemente símbolo de Kronecker .

El símbolo de Kronecker-Jacobi es una generalización de los símbolos de Legendre y Jacobi . El símbolo de Legendre se define solo para números primos, el símbolo de Jacobi se define para números impares naturales y el símbolo de Kronecker-Jacobi extiende este concepto a todos los números enteros.

Definición

El símbolo de Kronecker-Jacobi se define de la siguiente manera: $\left(\frac{a}{b}\right)$

si es un número primo impar, entonces el símbolo de Kronecker-Jacobi coincide con el símbolo de Legendre ; $b$
si , entonces $b=0$ $\left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ a=\pm 1,\\0,&{\ texto{si}}\ a\neq \pm 1;\end{casos}}$
si , entonces $b=2$ $\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if}}\ a\equiv 0{\pmod {2}},\ \(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8)),&{\text{if))\ a\equiv 1{\pmod {2));\end{casos))$
si , entonces $b=-1$ $\left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1,&{\text{if}}\ a<0,\\1,&{\ texto{si}}\ a\geqslant 0;\end{casos}}$
si , donde , son simples (no necesariamente distintos), entonces $b=\delta\cdot p_1\cdot\ldots\cdot p_n$ $\delta=\pm 1$ $p_{1},\;\ldots,\;p_{n}$

\left({\frac {a}{b}}\right)=\left({\frac {a}{\delta }}\right)\cdot \left({\frac {a}{p_ {1}}}\right)\cdots \left({\frac {a}{p_{n}}}\right),

donde se definió anteriormente. $\left(\frac{a}{p_i}\right)$

Propiedades

$\left(\frac{a}{b}\right)=0$ si y solo si ( y no son coprimos ). $(a,\;b)\neq 1$ $a$ $b$
Multiplicidad : . $\left(\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{a}{c}\right)\left(\frac{b}{c}\right)$
- En particular, . $\left(\frac{a^2b}{c}\right)=\left(\frac{b}{c}\right)$
Periodicidad con respecto a la variable : si , entonces $a$ $b>0$
- cuando el período es , es decir ; $b\not \equiv 2{\pmod {4}}$ $b$ $\left(\frac{a+b}{b}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)$
- cuando el período es , eso es . $b\equiv 2{\pmod {4}}$ $4b$ $\left(\frac{a+4b}{b}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)$
Periodicidad con respecto a la variable : si , entonces $b$ $a\neq 0$
- cuando el período es , es decir ; $a\equiv 0;\;1{\pmod {4))$ $|un|$ $\left(\frac{a}{b+\left|a\right |}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)$
- cuando el período es , eso es . $a\equiv 2;\;3{\pmod {4))$ $4|a|$ $\left(\frac{a}{b+4\left|a\right |}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)$
Si es un número natural impar, entonces se cumplen las propiedades del símbolo de Jacobi: $b$
- $\left(\frac{1}{b}\right)=1;$
- $\left(\frac{-1}{b}\right)=(-1)^{\frac{b-1}{2}});$
- $\left(\frac{2}{b}\right)=(-1)^{\frac{b^2-1}{8}}.$
Un análogo de la ley cuadrática de reciprocidad : si son números naturales impares, entonces . $A,\;B$ $\left(\frac{A}{B}\right)\left(\frac{B}{A}\right)=(-1)^{\frac{A-1}{2}\cdot\frac{ B-1}{2}}$

Conexión con permutaciones

Sea un número natural y coprimo con . El mapeo que actúa sobre todo define una permutación cuya paridad es igual al símbolo de Jacobi: $norte$ $a$ $norte$ $m_a: x\to ax\mod n$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\pi_a\en S_n$

\sigma (\pi _{a})=\left({\frac {a}{n}}\right).

Algoritmo de cálculo

1. (Caso b=0 ) si entonces

b=0

Si , entonces salga del algoritmo con la respuesta 1

|a|=1

Si , entonces salga del algoritmo con la respuesta 0

|a|\neq1

Terminara si 2. (Par b ) Si a y b son pares, salga del algoritmo y devuelva 0

v=0

Mientras que el bucle b es par

v:=v+1; b:=b/2

fin de ciclo Si v es par, entonces k=1 , de lo contrario

k=(-1)^{\frac{a^2-1}{8}}

si , entonces

b<0

b:=-b

si , entonces

un<0

k:=-k

Terminara si 3. (¿Salir del algoritmo?) si , entonces

un=0

Si , entonces salga del algoritmo con la respuesta 0

b>1

Si , entonces la salida del algoritmo con la respuesta k

b=1

Terminara si

v:=0

Bucle mientras a es par

v:=v+1; un:=un/2

fin de ciclo Si v es impar, entonces

k:=(-1)^{\frac{b^2-1}{8}}k

4. (Aplicación de la ley cuadrática de reciprocidad)

k:=k(-1) ^{\frac{(a-1)(b-1)}{4))

r:=|a|

a:=b\mod{r}

(menos deducción positiva)

b:=r

Ir al paso 3

Nota: para el cálculo , no es necesario calcular el exponente, basta con saber el resto de la división por 8. Esto aumenta la velocidad del algoritmo. $(-1)^{\frac{a^2-1}{8}}$ $a$

Referencias

Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números . - Moscú: GITTL, 1952. - P. 180. - ISBN 5-93972-252-0 .
N. Cohen. Un curso de teoría algebraica computacional de números. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-55640-0 .

Caracteres en la teoría de números y en la teoría de grupos
Caracteres cuadráticos	Símbolo de Legendre símbolo de jacobi Símbolo de Kronecker - Jacobi
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