Conjunto aleatorio

Un conjunto aleatorio es un mapeo medible de una familia de resultados elementales de un espacio de probabilidad arbitrario en algún espacio , cuyos elementos son conjuntos . $k$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),\mathbf {P} )$ ${\ matemáticas {M}}$

Hay varias definiciones del concepto. Conjunto aleatorio en función de la estructura del conjunto de valores. Así, si es un espacio topológico , entonces la mensurabilidad se entiende en el sentido de Borel. Los casos más comunes son: ${\ matemáticas {M}}$

${\mathcal {M}}={\mathcal {F}}$ - el espacio topológico de conjuntos cerrados (de algún espacio topológico llamado base), entonces el conjunto aleatorio es un conjunto cerrado aleatorio; $S$
${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}$ es el espacio topológico de conjuntos abiertos, entonces S.m. hay un conjunto abierto aleatorio;
${\mathcal {M}}={\mathcal {H}}$ — espacio topológico de pares (el interior de un conjunto, el cierre de un conjunto); aquí se llega a los llamados conjuntos aleatorios físicamente diferentes [1]
${\mathcal {M}}={\mathcal {K}}$ es un espacio topológico de conjuntos compactos, en este caso se obtiene un conjunto compacto aleatorio ;
${\mathcal {M}}={\rm {conv}}({\mathcal {K}})$ es un subespacio de elementos convexos , obteniendo así un conjunto convexo aleatorio. $\mathcal{K}$

Para especificar la distribución de un conjunto cerrado aleatorio, se usa un funcional adjunto, en términos del cual es conveniente describir muchas propiedades de un conjunto aleatorio. La teoría de conjuntos aleatorios abiertos, compactos y físicamente distintos se obtiene a partir de la teoría de conjuntos aleatorios cerrados con la ayuda de reformulaciones estándar.

Para resolver algunos problemas, basta con utilizar los valores del funcional adjunto en conjuntos finitos, la llamada ley de distribución de puntos de un conjunto aleatorio, que en el caso general no determina de manera única la distribución de un conjunto aleatorio. Hay, sin embargo, una clase de conjuntos aleatorios separables para los cuales la ley puntual define completamente la distribución: este es un conjunto aleatorio con la propiedad , donde es contable y en todas partes denso en . $k$ $K={\overline {K\cap D))$ $D$ $S$

Clases especiales importantes de conjuntos aleatorios son conjuntos aleatorios infinitamente divisibles, conjuntos gaussianos aleatorios, conjuntos isotrópicos aleatorios, conjuntos semi-Markov aleatorios, conjuntos estacionarios aleatorios, conjuntos estables aleatorios.

Hay otras formas de definir un conjunto aleatorio que no requieren una topología preliminar (básica); el más importante de ellos: el método de Kendall, basado en el concepto de "trampas" [2] ; método de reducción a funciones aleatorias (por ejemplo, funciones de soporte en caso de convexidad de conjuntos); un método que utiliza la métrica de Kolmogorov-Hamming (una medida de la diferencia simétrica de conjuntos).

Las secciones más desarrolladas de la teoría de S.m. son teoremas de límite para conjuntos aleatorios, así como varias definiciones y métodos para calcular características numéricas y características de conjuntos de distribuciones S.m. (Conjuntos promedio, Conjunto-media, Conjunto-mediana, Conjunto-expectativa, etc.).

Notas

↑ Matheron, J. (1978) Conjuntos aleatorios y geometría integral, trad. del inglés, M.: Mir.
↑ Kendall DG (1974) en Geometría estocástica, NY

Literatura

Choquet G. (1953-54) "Ann.Inst.Fourier", vol.5, p. 131-295;
Lyashenko N. N. (1999) Conjunto aleatorio. Probabilidad y estadística matemática. Enciclopedia. cap. edición Yu. V. Prokhorov. M.: BRE.