Ortoedro perfecto

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Un paralelepípedo perfecto [1] es un paralelepípedo rectangular , en el que las siete cantidades básicas (tres aristas, las diagonales de sus caras y la diagonal del propio paralelepípedo) son números naturales. En otras palabras, un paralelepípedo perfecto es una solución al sistema de las siguientes ecuaciones diofánticas en números naturales:

{\begin{casos}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b ^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{casos}}

Todavía se desconoce si tal paralelepípedo existe. La enumeración por computadora no encontró ningún cuboide perfecto con aristas de hasta 3·10 12 [2] [1] . Sin embargo, se han encontrado varios paralelepípedos "casi perfectos", en los que todas las cantidades son números enteros, excepto uno:

${\ estilo de visualización (672153104)}$ una de las diagonales de la cara no es entera.
$(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121)),7800)$ , — uno de los bordes no es entero. ${\ estilo de visualización (520,576, {\ sqrt {618 \, 849)))}$
Una gran cantidad de paralelepípedos de Euler (con una diagonal espacial no entera, ver más abajo ).
Paralelepípedos oblicuos, en los que todas las dimensiones lineales son números enteros. En este caso, un ángulo no recto es suficiente [3] [4] [5] .

Desde septiembre de 2017, el proyecto de computación distribuida yoyo@home ha iniciado la búsqueda del paralelepípedo perfecto [6]

Caja de Euler

Un paralelepípedo rectangular en el que solo las aristas y las diagonales de las caras son números enteros se llama Euler. El más pequeño de los paralelepípedos de Euler - (240, 117, 44), con caras diagonales 267, 244 y 125, fue encontrado por Paul Halke en 1719 [1] . Algunos paralelepípedos de Euler más:

(275, 252, 240)
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).

Euler describió dos familias de paralelepípedos de Euler (de ahí el nombre) que se dan mediante fórmulas similares a las de los triples pitagóricos . Estas familias no incluyen todos los paralelepípedos de Euler. Se sabe que entre ellos no puede haber un paralelepípedo perfecto [1] . No existe una descripción completa de todos los paralelepípedos de Euler.

Una de las familias obtenidas por Euler viene dada por las fórmulas para : $n>3$

a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n

Se conocen los siguientes requisitos para el paralelepípedo de Euler (y por tanto para el paralelepípedo perfecto) [7] :

Una arista es divisible por 4, la segunda es divisible por 16, la tercera es impar (a menos, por supuesto, que sea primitiva, es decir, mcd ( a ,  b ,  c ) = 1).
Una arista es divisible por 3 y otra por 9.
Una arista es divisible por 5.
Una arista es divisible por 11.

Existe una forma "sin fórmula" de obtener los valores de los lados de la caja de Euler "derivada" en función de los valores de la caja de Euler "padre" (8). Para hacer esto, en la figura se seleccionan tres triángulos con valores enteros de los lados. Además, a partir de los triángulos obtenidos seleccionando el valor de su cotangente, se determinan las ternas pitagóricas. Estos triples se ingresan en la tabla. Al recibir un arreglo cruzado en la tabla de dos valores (de tres) de triples pitagóricos (usando un cierto algoritmo de operaciones matemáticas), se calculan los valores de los tres lados del paralelepípedo de Euler "derivado".

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 4 Ian Stewart . Los mejores problemas de matemáticas. - M. : Alpina no ficción, 2016. - S. 407. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
↑ Bill Butler, The "Integer Brick" Problema Archivado el 30 de agosto de 2007 en Wayback Machine .
↑ JF Sawyer, CA Reiter, Los paralelepípedos perfectos existen . Archivado el 6 de julio de 2015 en Wayback Machine , Math. compensación 80 (2011), núm. 274, pág. 1037-1040.
↑ BD Sokolowsky, AG VanHooft, RM Volkert, CA Reiter, Una familia infinita de paralelepípedos perfectos Archivado el 6 de julio de 2015 en Wayback Machine , Math. compensación 83 (2014), núm. 289, págs. 2441-2454.
↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids , arXiv:1506.02215v2 Archivado el 23 de enero de 2018 en Wayback Machine [math.NT] el 27 de junio de 2015.
↑ yoyo@casa . Consultado el 22 de enero de 2018. Archivado desde el original el 22 de enero de 2018. (indefinido)
↑ Primitive Euler Bricks Archivado el 24 de febrero de 2020 en Wayback Machine .