Suma de Riemann

La suma de Riemann es uno de los mecanismos para determinar la integral a través de una suma de la forma . Se utiliza en la definición de la integral de Riemann . Nombrado en honor al descubridor, Bernhard Riemann . ${\ estilo de visualización \ suma f (x) \ Delta x}$

Definición

Sea una función definida sobre un subconjunto de la recta real . es un intervalo cerrado contenido en . es una partición en la que . ${\ estilo de visualización f: D \ flecha derecha R}$ $D$ $R$ ${\ estilo de visualización I = [a, b]}$ $D$ $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ $yo$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$

La suma de Riemann de una función dividida se define de la siguiente manera: $F$ $PAGS$

S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})

donde _ La elección en este intervalo es arbitraria. Si es para todos , entonces se llama suma de Riemann por la izquierda . Si , entonces se llama la suma de Riemann correcta . Si , entonces se llama suma de Riemann media . El valor promedio de la suma de Riemann izquierda y derecha se llama suma trapezoidal . ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i))$ $x_{i}^{*}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1))$ $i$ $S$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i))$ $S$ $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ $S$

Si la suma de Riemann se representa como:

S=\sum_{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})

donde es el límite superior exacto del conjunto en el intervalo entonces se llama la suma superior de Riemann . De manera similar, si es el límite inferior exacto del intervalo establecido , entonces se llama suma de Riemann inferior . $v_{i}$ $F$ ${\ estilo de visualización [x_{i-1},x_{i}]}$ $S$ $v_{i}$ $F$ ${\ estilo de visualización [x_{i-1},x_{i}]}$ $S$

Cualquier suma de Riemann con una partición dada (al elegir cualquier valor del intervalo ) está entre las sumas de Riemann inferior y superior. $x_{i}^{*}$ ${\ estilo de visualización [x_{i-1},x_{i}]}$

Si para una función y un segmento hay un límite de sumas de Riemann cuando el paso de partición tiende a cero (independientemente de la elección de ), entonces este límite se llama integral de Riemann de la función en el segmento y se denota por . $F$ $[a;b]$ $x_{i}^{*}$ $F$ $[a;b]$ $\int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx$

Literatura

VIRGINIA. Ilyin , V. A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Análisis matemático. Curso inicial. - 2º, revisado. - Editorial de la Universidad de Moscú, 1985. - T. 1. - 660 p.