División súper proporcional

En el contexto del reparto justo, una división superproporcional es una división en la que cada participante recibe una parte estrictamente superior a 1/ n del recurso (total) de acuerdo con su propia evaluación subjetiva ( ). ${\ estilo de visualización V> 1/n}$

Super división proporcional vs división proporcional

Una división súper proporcional es mejor que una división proporcional , en la que se garantiza que cada participante recibirá al menos 1/ n ( ). Sin embargo, a diferencia de la división proporcional, la división superproporcional no siempre existe. Cuando todos los participantes de una división tienen exactamente las mismas funciones de evaluación, lo mejor que podemos dar a cada participante es exactamente 1/ n . $V\geqslant 1/n$

Una condición necesaria para la existencia de una división superproporcional es que no todos los participantes tengan la misma medida de valor.

Lo sorprendente es que en el caso de que las estimaciones sean aditivas y no atómicas, esta condición también es suficiente. Es decir, si hay al menos dos participantes cuyas funciones de evaluación son aunque sea ligeramente diferentes, hay una división superproporcional en la que todos los participantes reciben más de 1/ n .

Hipótesis

La existencia de una división superproporcional fue propuesta como conjetura en 1948 [1] .

Se ha dicho de paso que si hay dos (o más) participantes con diferentes puntajes de valor, hay una división que le da a cada uno más que su parte ( Knaster ), y este hecho desmiente la noción general de que la diferencia en los puntajes hace una división justa más difícil.

Prueba de existencia

La primera prueba publicada de la existencia de una división superproporcional fue una consecuencia del teorema de la convexidad de Dubins-Spanier . Esta fue una prueba de existencia puramente teórica basada en la convexidad.

Protocolo

En 1986 [2] se introdujo un protocolo para obtener una división superproporcional .

Una pieza con diferentes valoraciones

Sea C un pastel completo. El protocolo comienza con un trozo de pastel específico, digamos , que es juzgado por dos participantes. Digamos que serán Alice y Bob. $X\subseteq C$

Sean a=V Alice (X) y b=V Bob (X) y supongamos sin pérdida de generalidad que b>a .

Dos piezas con diferentes valoraciones

Encuentre un número racional entre b y a , digamos p/q , tal que b > p/q > a . Pidámosle a Bob que corte X en p partes iguales y que corte C \ X en qp partes iguales.

Según nuestras suposiciones, los valores de Bob para cada pieza X son mayores que 1/ q , y para cada pieza C \ X son menores que 1/ q . Sin embargo, para Alicia, al menos una pieza de X (digamos, Y ) debe tener un valor menor que 1/ q , y al menos una pieza de C\X (digamos, Z ) debe tener un valor mayor que 1/ q .

Así, tenemos dos piezas Y y Z tales que:

Bob en V (Y)> Bob en V (Z) V Alicia (Y)<V Alicia (Z)

División superproporcional para dos participantes

Deje que Alice y Bob dividan el resto de C \ Y \ Z entre ellos proporcionalmente (por ejemplo, usando el protocolo de dividir y elegir ). Agreguemos Z al fragmento de Alice e Y al fragmento de Bob.

Ahora cada participante piensa que su distribución es estrictamente mayor que cualquier otra distribución, por lo que el valor es estrictamente mayor que 1/2.

División superproporcional para n participantes

Una extensión de n miembros de este protocolo se basa en el protocolo "Selector único" de Fink .

Supongamos que ya tenemos una división superproporcional para i -1 participantes (para ). Un nuevo participante #i ingresa al juego y debemos darle algunas participaciones de los primeros i -1 participantes para que la nueva división quede superproporcional. $i\geqslant 3$

Considere, por ejemplo, el socio #1. Sea d la diferencia entre el valor actual del socio #1 y (1/( i -1)). Como la división actual es superproporcional, sabemos que d>0 .

Elegimos un entero positivo q tal que $d>{\frac {1}{(i-1)i(q(i-1)-1)))$

Pidamos al participante #1 que divida su parte en partes que él considere iguales, y dejemos que el nuevo participante elija las partes que sean más valiosas para él. ${\ estilo de visualización qi-1}$ $q$

El participante #1 se queda con el valor de su valor anterior, que era igual a (por definición d ). El primer elemento se convierte en , y d se convierte en . Su sumatoria da que el nuevo valor excede todo el pastel. ${\frac {(qi-1)-q}{qi-1}}={\frac {q(i-1)-1}{qi-1}}$ ${\frac{1}{i-1}}+d$ ${\frac {q(i-1)-1}{(i-1)(qi-1)))$ ${\frac {1}{i(i-1)(qi-1)))$ ${\frac {(qi-1)(i-1)}{(i-1)i(qi-1)}}={\frac {1}{i}}$

Después del nuevo participante, después de recibir q partes de cada uno de los primeros i -1 participantes, tendrá un valor total no menor a la totalidad del pastel. ${\frac{q}{qi-1}}>{\frac{1}{i}}$

Esto prueba que la nueva división también es superproporcional.

Notas

↑ Steinhaus, 1948 , pág. 101–4.
↑ Woodall, 1986 , pág. 300.

Literatura

Hugo Steinhaus. El problema de la división justa // Econometrica. - 1948. - T. 16 , núm. 1 . — .
Woodall DR Una nota sobre el problema de la división del pastel // Journal of Combinatorial Theory, Serie A. - 1986. - V. 42 , no. 2 . - S. 300 . - doi : 10.1016/0097-3165(86)90101-9 .