Existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes

La existencia y suavidad de las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes es uno de los Siete Problemas Matemáticos del Milenio formulados en el año 2000 por el Clay Mathematical Institute .

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de un fluido newtoniano viscoso y son la base de la hidrodinámica . Las soluciones numéricas de las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan en muchas aplicaciones prácticas y artículos científicos. Sin embargo, las soluciones analíticas de estas ecuaciones se han encontrado solo en algunos casos especiales, por lo que no existe una comprensión completa de las propiedades de las ecuaciones de Navier-Stokes. En particular, las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes a menudo implican turbulencia , que sigue siendo uno de los problemas sin resolver más importantes de la física , a pesar de su gran importancia para la ciencia y la tecnología.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Para un vector tridimensional de velocidad y presión del fluido , las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben de la siguiente manera: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vecx},\;t)$

{\frac {\parcial {\vec {v))}{\parcial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))=-{\frac { 1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)

donde es la viscosidad cinemática , es la densidad , es la fuerza externa, es el operador nabla , y es el operador de Laplace (Laplaciano), que también se denota como o . Esta es una ecuación vectorial, que en el caso tridimensional se puede representar como tres ecuaciones escalares. Si denotamos las componentes de los vectores velocidad y fuerza externa como: $\nu>0$ $\rho$ ${\vec f}({\vec x},\;t)$ $\nabla$ $\Delta$ $\nabla \cdot \nabla$ $\ nabla ^ {2}$

{\vec {v))({\vec {x)),\;t)=(v_{1}({\vec {x)),\;t),\;v_{2}( {\vec {x)),\;t),\;v_{3}({\vec {x)),\;t)),\qquad {\vec {f))({\vec {x} },\;t)=(f_{1}({\vec {x)),\;t),\;f_{2}({\vec {x)),\;t),\;f_{ 3}({\vec{x)),\;t))

luego para cada valor se obtiene la ecuación escalar correspondiente: $i=1,\;2,\;3$

{\frac {\parcial v_{i}}{\parcial t}}+\sum_{{j=1}}^{3}v_{j}{\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{j))}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial p}{\parcial x_{i}}}+\nu \sum_{{j=1}}^ {3}{\frac {\parcial ^{2}v_{i}}{\parcial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec x},\;t).

Las cantidades desconocidas son la velocidad y la presión . Dado que en el caso tridimensional hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas (tres componentes de velocidad y presión), se necesita una ecuación más. Una ecuación adicional es la ley de conservación de la masa, la ecuación de continuidad, que en el caso de un medio incompresible se transforma en la condición de incompresibilidad del líquido: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vecx},\;t)$

\nabla \cdot {\vec v}=0.

Las condiciones iniciales para las ecuaciones de Navier-Stokes se dan en la forma:

{\vec v}({\vec x},0)={\vec {v^{0}}}({\vec x})

donde es una función vectorial suave dada que satisface la ecuación de continuidad . ${\ vec {v^{0}}}({\ vec x})$ $\nabla \cdot {\vec {v^{0))}=0$

Opciones para solucionar el problema

El Clay Institute formuló dos versiones principales del problema de la existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. En la primera versión, las ecuaciones se consideran en todo el espacio tridimensional con algunas restricciones sobre la tasa de crecimiento de la solución en el infinito. En la segunda versión, las ecuaciones se consideran en un toro tridimensional con condiciones de contorno periódicas. Para recibir la prima, basta con probar o refutar la existencia y fluidez de la solución en cualquiera de las dos opciones. $\mathbb{R} ^{3}$ ${\mathbb {T}}^{3}={\mathbb {R}}^{3}/{\mathbb {Z}}^{3}$

En el espacio 3D

Sea la velocidad inicial una función uniforme arbitraria que satisfaga la ecuación de continuidad y tal que para cualquier multiíndice y cualquiera exista una constante (dependiendo únicamente de y ) tal que ${\ vec {v^{0}}}(x)$ $\alfa$ $k>0$ $C_{{\alfa,K}}>0$ $\alfa$ $k$

\vert \parcial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{ K}}}\qquad

para todos

\qquad x\in {\mathbb {R}}^{3}.

Sea la fuerza externa también una función suave que satisface una desigualdad similar (aquí el multiíndice también incluye derivadas temporales): ${\vec{f}}({\vec{x}},t)$

\vert \parcial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad

para todos

\qquad ({\vec {x)),t)\in {\mathbb {R))^{3}\times [0,\infty ).

Las soluciones deben ser funciones suaves que no aumenten indefinidamente como . Se requieren las siguientes condiciones: $\vert {\vec {x}}\vert \to \infty$

${\vec {v}}({\vec {x}},t)\en \left[C^{\infty}({\mathbb {R}}^{3}\times [0,\infty )) \right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x)),t)\in C^{\infty }({\mathbb {R))^{3}\times [0,\ infinito))$
Hay una constante tal que para todos . $E\in (0,\infty)$ $\int _{{{\mathbb {R}}^{3}}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}}),t)\vert ^{2}dx<E$ $t\geq 0$

La primera condición significa que las funciones están definidas globalmente y son suaves; la segunda es que la energía cinética está globalmente limitada.

Se requiere probar una de las dos afirmaciones:

existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en : para cualquier condición inicial que satisfaga las condiciones descritas anteriormente, existe una solución suave global de las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, el vector de velocidad y el campo de presión que satisfacen las condiciones 1 y 2; $\mathbb{R} ^{3}$ ${\vec {f}}({\vec {x}}),t)\equiv 0$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vecx},t)$
inexistencia o no suavidad de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en : hay condiciones iniciales y una fuerza externa tal que no hay soluciones y condiciones satisfactorias 1 y 2. $\mathbb{R} ^{3}$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {f}}({\vec x},t)$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vecx},t)$

Intentos de solución

El 10 de enero de 2014, el matemático kazajo Mukhtarbay Otelbaev publicó un artículo en el que afirmaba haber dado una solución completa al problema [1] , comprobando que el resultado se complica por el hecho de que el trabajo estaba escrito en ruso [2] [ 3] . En las comunidades de matemáticas se discuten los contraejemplos de los enunciados principales [4] . En 2014 se encontró un grave error en la prueba, que el autor admitió [5] .

Notas

↑ Mukhtarbai Otelbaev . Existencia de una solución fuerte de la ecuación de Navier-Stokes // Revista matemática. - 2013. - T. 13 , N° 4 (50) . - S. 5-104 . — ISSN 1682-0525 . Archivado desde el original el 17 de agosto de 2014. (Ruso) : Se da la solución del sexto Problema del Milenio: se demuestra la existencia y unicidad de una solución fuerte del problema tridimensional de Navier-Stokes con condiciones de frontera periódicas en variables espaciales
↑ Liz Klimas. Se puede resolver un problema matemático que vale $ 1 millón, pero todavía hay un problema... (inglés) (enlace no disponible) . The Blaze (22 de enero de 2014). — «El problema actual con el artículo de Otelbayev es que está escrito en ruso.». Fecha de acceso: 23 de enero de 2014. Archivado desde el original el 23 de enero de 2014.
↑ Jacob Aron, Katia Moskvitch. El matemático kazajo pudo haber resuelto el rompecabezas de $ 1 millón . Nuevo científico (22 de enero de 2014). Fecha de acceso: 24 de enero de 2014. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2014.
↑ Ecuación - ¡a la izquierda! (6 de febrero de 2014). Fecha de acceso: 12 de febrero de 2014. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2014. (Ruso)
↑ La prueba diabólica de un millón de dólares elude a los matemáticos . Consultado el 12 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 25 de mayo de 2016. (indefinido)

Literatura

PG Lemarie-Rieusset. El problema de Navier-Stokes en el siglo XXI . - CRC Press, 2016. - Pág. 740. - ISBN 1466566213 .
Juan Galdi. Introducción a la teoría matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes: problemas de estado estacionario . - Springer, 2011. - Pág. 1032. - ISBN 0387096191 .

Enlaces

Descripción oficial de la tarea dada por Charles Fefferman
Números del año 2000: ecuaciones de Navier-Stokes // Computerra , 5 de octubre de 2005 .
Estado del arte en el blog personal de Terence Tao