Teorema del "borde de la cuña" de Bogolyubov

El teorema del "borde de la cuña" de Bogolyubov establece que una función de varias variables complejas que es holomorfa en dos regiones en forma de cuña con un borde común en el que es continua también es holomorfa en el borde. Este teorema se utiliza en la teoría cuántica de campos para construir una continuación analítica de las funciones de Wightman . La primera formulación y prueba del teorema fueron presentadas [1] por N. N. Bogolyubov en una conferencia internacional en Seattle, EE. UU. (septiembre de 1956) y también publicadas en la monografía [2](Apéndice A, Teorema 1). Posteriormente, Jost y Lehmann (1957), Dyson (1958), Epstein (1960) y otros matemáticos dieron otras demostraciones y generalizaciones del teorema [3] . Las aplicaciones importantes del teorema del "borde de la cuña" son: demostración de las relaciones de dispersión en la teoría cuántica de campos, teoría axiomática de campos cuánticos, teoría de funciones generalizadas, generalización del teorema de Liouville [3] .

Caso unidimensional

Para funciones de una variable compleja, el teorema del "borde de la cuña" se puede formular de la siguiente manera.

En este ejemplo, las cuñas son los semiplanos superior e inferior, y su punta común es el eje real. El teorema dado se puede probar usando el teorema de Morera .

Caso general

En general, una cuña es el producto de un cono y un conjunto abierto.

Sea C  un cono abierto con vértice en cero en el espacio real R n . Sea E  un conjunto abierto en R n (punto). Definimos cuñas y en el espacio complejo C n . Las cuñas y W' tienen un punto común E , donde identificamos E con el producto de E y el vértice del cono.

Las condiciones del teorema pueden debilitarse. Primero, no es necesario definir f enteramente en las cuñas, es suficiente definir f en alguna vecindad de la punta. En segundo lugar, no es necesario suponer que f está definida o es continua en la punta, basta con suponer que las funciones generalizadas dadas por los límites de f de las dos cuñas en la punta son iguales.

Aplicaciones en la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos de la distribución de Wightman, existen valores límite de las funciones de Wightman en función de las variables de complejización del espacio de Minkowski. Están definidos y son holomorfos en una cuña en la que la parte imaginaria de cada uno se encuentra en un cono temporal positivo abierto. Las permutaciones de variables dan diferentes funciones de Wightman definidas en diferentes cuñas. La punta es un conjunto de puntos similares al espacio. Del teorema del punto de cuña de Bogolyubov se deduce que todos ellos son extensiones analíticas de una sola función holomorfa definida en un dominio conectado que contiene todas las cuñas. En este caso, la igualdad de los valores límite en la punta se deriva del axioma de localidad en la teoría cuántica de campos.

Véase también

Aplicación del teorema del "borde de la cuña" en la teoría cuántica de campos:

  1. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Fundamentos del enfoque axiomático en la teoría cuántica de campos. — M.: Nauka, 1969.
  2. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Principios generales de la teoría cuántica de campos.  - 2ª ed. Moscú: Fizmatlit, 2006. ISBN 5922106120 .
  3. Streeter R., Wightman A.S. PCT, giros y estadísticas y todo eso. 1966.

Notas

  1. ↑ Vladimirov V.S. Métodos de la teoría de funciones de varias variables complejas . - Moscú: Nauka, 1964. - S. 294-311.
  2. ↑ Bogolyubov N. N., Medvedev B. V., Polivanov M. K. Cuestiones de la teoría de las relaciones de dispersión  (neopr.) . - Moscú: Fizmatgiz, 1958.
  3. ↑ 1 2 Teorema del “borde de la cuña” de Vladimirov V. S. Bogolyubov, su desarrollo y aplicaciones // Problemas de física teórica. Colección dedicada a Nikolai Nikolaevich Bogolyubov en relación con su sexagésimo cumpleaños. - M., Nauka , 1969. - Circulación 4000 ejemplares. - C. 61-67