Teorema de Weierstrass sobre funciones enteras

Teorema

Cualquier función completa que tenga como máximo un número contable de ceros , donde el punto 0 es el cero de orden , puede representarse como un producto infinito de la forma $F$ $\{0\}\taza \{a_{n}\}\a \infty$ $\lambda$

f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n }}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}} }\right)^{2}+\puntos +{\frac {1}{p_{n))}\left({\frac {z}{a_{n))}\right)^{p_{n} }\Correcto)

donde es alguna función entera, y los enteros no negativos se eligen de tal manera que la serie $h$ $p_n$

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}+1}}\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right| ^{p_{n}+1}

convergió con todos . En , se omite el exponente correspondiente al factor número n (se considera igual a ). $z$ $p_{n}=0$ $\exp(0)=1$

Este teorema se generaliza al caso de raíces múltiples de la siguiente manera. La expresión más general para una función completa que tiene multiplicidad de ceros en puntos dados ( ) es el producto $F$ $z=a_{k}$ $a_{k}\a\infty$ $n_{k}$

f(z)=z^{{n_{0}}}e^{{h(z)}}\prod_{{k=1}}^{\infty}\left\{\left(1-{ \frac {z}{a_{k}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{k}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{k))}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{k))}\left({\frac {z}{a_{k))} \derecho)^{{p_{k}}}\derecho)\derecho\}^{{n_{k}}}

donde es una función entera arbitraria, y los enteros no negativos se eligen de tal manera que la serie $h$ $p_n$

\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {n_{k}}{p_{k}+1}}\left|{\frac {z}{a_{k}}}\ derecho|^{{p_{k}+1}}

convergió con todos . $z$

Ejemplos

Descomposición de seno y coseno en un producto infinito.

\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z \prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)

\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{impar))}\left(1-{\frac {2z}{q)) \right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty}\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}} }\Correcto)

Nota

Este teorema, al igual que el teorema de Mittag-Leffler , es una generalización de una propiedad bien conocida, la descomposición de polinomios en factores, al caso de funciones enteras.

Literatura

Gurvits A., Courant R. Teoría de funciones. M., 1968. págs. 125 y ss.
Ruchs F. Funktionentheorie. Berlín, 1962. Págs. 200.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funciones de variable compleja y algunas de sus aplicaciones. - M.: Nauka, 1964. - S. 316