Teorema de Gelfond-Schneider

El teorema de Gelfond-Schneider es un teorema de la teoría de números que establece la trascendencia de una gran clase de números y por lo tanto resuelve (afirmativamente) el Séptimo Problema de Hilbert . Fue probado de forma independiente en 1934 por el matemático soviético Alexander Gelfond [1] y el matemático alemán Theodor Schneider [2] .

Redacción

Si - números algebraicos , y no cero ni uno, sino irracionales , entonces cualquier valor es un número trascendental . $a, b$ $a$ $b$ $un ^ {b}$

Formulaciones equivalentes para logaritmos (la base del logaritmo se elige arbitrariamente) [3] :

Si - números algebraicos , no iguales a cero o uno, entonces - ya sea número racional o trascendental . $a, b$ ${\ estilo de visualización \ registro (b)/\ registro (a)}$

Si son linealmente independientes sobre el campo de los números racionales , entonces también son linealmente independientes sobre el campo de los números algebraicos . ${\ estilo de visualización \ registro (a), \ registro (b)}$

Para una generalización de la última formulación, véase el artículo Teoría de los números trascendentales .

Explicaciones

Los valores pueden ser no solo reales , sino también números complejos ; dado que el grado complejo es multivaluado, se enfatiza especialmente en la formulación: cualquier valor . $a, b$
Si eliminamos el requisito de que fueran números algebraicos , el teorema será incorrecto. Ejemplo: $a, b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Del ejemplo, teniendo en cuenta el teorema, también es obvio que es un número trascendental.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

Kurt Mahler demostró un análogo de este teorema para los números p-ádicos .

Consecuencias

El teorema implica la trascendencia de algunas constantes matemáticas importantes .

La constante de Gelfond-Schneider y su raíz cuadrada ya mencionada anteriormente : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {2}}^{\ sqrt {2}}.}$
la constante de Gelfond y $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .$

Véase también

Teorema de Lindemann-Weierstrass

Notas

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Actas de la Academia de Ciencias de la URSS. séptima serie. Departamento de Ciencias Matemáticas y Naturales. - M. , 1934. - Edición. 4 . - S. 623-634 . Archivado desde el original el 9 de agosto de 2018.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volumen 172, 1934, págs. 65-69, 70-74.
↑ Feldmann .

Literatura

Gelfond A. O. Números trascendentales y algebraicos. - M. : GITTL, 1952. - 224 p.
Número trascendental // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5.
Séptimo problema de Feldman N.I. Hilbert. - M. : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1982. - 312 p.
Panadero, Alan. Teoría de los números trascendentales. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Sergio. Introducción a los Números Trascendentales. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Enlaces

Zhukov A. Números algebraicos y trascendentales . Consultado: 9 de agosto de 2017. (indefinido)
Feldman N. Números algebraicos y trascendentales . Consultado: 9 de agosto de 2017. (indefinido)
Una demostración del teorema de Gelfond-Schneider
Hyun Seok Lee. Sobre Teoría de la Trascendencia con poca historia, nuevos resultados y problemas abiertos . Consultado: 9 de agosto de 2017. (indefinido)
Waldschmidt, Michel (2001). Método Gel'fond-Schneider // Hazewinkel, Michiel, Enciclopedia de Matemáticas, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .