El teorema de goodstein
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 11 de noviembre de 2019; las comprobaciones requieren 9 ediciones .El teorema de Goodstein es un teorema de lógica matemática sobre los números naturales , demostrado por Reuben Goodstein [1] . Afirma que todas las secuencias de Goodstein terminan en cero. Como muestran L. Kirby y Jeff Paris [2] [3] , el teorema de Goodstein no es demostrable en la axiomática de Peano ( ) (pero puede demostrarse, por ejemplo, en aritmética de segundo orden ).
La secuencia de Goodstein
Considere la representación de números enteros positivos como una suma de términos de potencia con la misma base.
Por ejemplo, escribamos el número 581 en base 2:
Descompongamos los exponentes según el mismo principio:
Se puede obtener una expansión similar para cualquier número.
Aplicaremos recursivamente la siguiente operación a la expresión resultante:
- aumentando la "base" en 1 y restando 1 del número mismo.
Así, tras aplicar la primera operación (cambiar 2 por 3 y restarle uno al número), se obtendrá la expresión
Después del segundo (cambiar 3 a 4 y restar uno del número):
Después del tercero (cambiar 4 a 5 y restar uno del número):
El teorema de Goodstein establece que el resultado final siempre será 0.
Una afirmación más fuerte también es cierta: si en lugar de 1 se agrega un número arbitrario a la base y se resta del número mismo, entonces siempre se obtendrá 0 incluso si los exponentes no se descomponen inicialmente en base 2.
La última base como función discreta del número original crece muy rápidamente, y ya en ella alcanza el valor . Para , siempre será el número de Woodall [4] .
Ejemplo
Considere un ejemplo de la secuencia de Goodstein para los números 1, 2 y 3.
| Número | Base | Grabación | Sentido |
|---|---|---|---|
| una | 2 | una | una |
| 3 | once | 0 | |
| 2 | 2 | 2 1 | 2 |
| 3 | 3 1 − 1 | 2 | |
| cuatro | 2 - 1 | una | |
| 5 | 1 - 1 | 0 | |
| 3 | 2 | 2 1 + 1 | 3 |
| 3 | (3 1 + 1) − 1 = 3 1 | 3 | |
| cuatro | 4 1 - 1 = 1 + 1 + 1 | 3 | |
| 5 | (1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1 | 2 | |
| 6 | (1 + 1) − 1 = 1 | una | |
| 7 | 1 − 1 = 0 | 0 |
Notas
- ↑ Goodstein, R. (1944), Sobre el teorema del ordinal restringido , Journal of Symbolic Logic Vol . 9: 33–41 , < https://www.jstor.org/pss/2268019 >
- ↑ Kirby, L. & Paris, J. (1982), Resultados de independencia accesibles para la aritmética de Peano , Bulletin London Mathematical Society, volumen 14: 285–293 , < http://reference.kfupm.edu.sa/content/a/ c/accessible_independence_results_for_pean_59864.pdf > Archivado el 25 de agosto de 2011 en Wayback Machine .
- ↑ Roger Penrose. Grande pequeño y la mente humana. Anexo 1.
- ↑ Considere la representación de un número en la forma , donde es nuestra base. Cuando sólo queda el coeficiente de at , igual a uno, denotamos el valor de este . Después de eso, cuando el número se convierte en Es fácil demostrar que en el curso de una mayor evolución, cada disminución en el coeficiente en 1 duplica k. El último valor de la base será .
