Teorema de Cauchy-Kovalevskaya

El teorema de Cauchy-Kovalevskaya es un teorema sobre la existencia y unicidad de una solución local al problema de Cauchy para una ecuación diferencial parcial . El teorema de Kovalevskaya es uno de los principales y más utilizados en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales: el teorema de Holmgren sobre la unicidad de la solución del problema de Cauchy, los teoremas de existencia para la solución del problema de Cauchy para ecuaciones hiperbólicas, la teoría de la la resolución de ecuaciones lineales utiliza el teorema de Kovalevskaya.

Redacción

Consideremos el espacio . Un punto en el espacio se denotará por , y un punto perteneciente a , por . Denote el operador de diferenciación parcial $\mathbb{R} ^{n+1}$ $\mathbb{R} ^{n+1}$ $(x,t)=(x_{{1}},...,x_{{n}},t)$ $\mathbb{R} ^{n}$ $x=(x_{{1}},...,x_{{n}})$

L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{ \nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j }.

Supongamos que los coeficientes del operador están definidos en la vecindad del origen en el espacio de variables y son funciones analíticas . Sea la función también analítica en . Sea el vector de datos iniciales analítico en alguna vecindad del origen , es decir, el espacio. Entonces existe una vecindad del origen y una única función analítica definida en la cual $L$ $tu$ $(x,t)$ $F$ $tu$ $\psi$ $X$ $W$ $tu(x, t)$ $W$

Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{ j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m -1).\qquad(1)

Prueba

Pongamos

{\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j! }}u_{j}(x).

Entonces se sigue de $(una)$

L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!)}} u_ {j}(x)\derecha].

Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los datos iniciales de son iguales a cero. Reescribamos en la forma $tu(x, t)$ $(una)$

\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j} (x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t), \qquad(2)

donde es un polinomio en grado cuyos coeficientes son analíticos en una vecindad del origen. Es fácil ver que los coeficientes de la expansión de la serie de Taylor ${\alfa }_{{j))(x,t;{\xi })$ $\xi$ $mj$ $tu$ $c_{{\nu,j}}$

u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)

están determinadas únicamente por la ecuación y las condiciones iniciales. A continuación, demostramos la convergencia de la serie . $(2)$ $(3)$

Se utilizan series y polinomios de Majorant para probar la convergencia de la serie . Una función se llama serie mayorante para en el origen si es analítica en este punto y los coeficientes de su expansión de Taylor son mayores o iguales a los valores absolutos de los coeficientes correspondientes de la expansión de Taylor de la función , es decir , . $(3)$ $F(x, t)$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}$ $c_{{\mu ,j}}$ $f(x,t)$ $C_{{\mu,j}}\geqslant |c_{{\mu,j}}|$

Historia

El teorema fue presentado por S.V. Kovalevskaya a la Universidad de Göttingen junto con otros dos trabajos como tesis doctoral en 1874.

Véase también

Literatura

S. Mizohata Teoría de ecuaciones diferenciales parciales, Moscú, Mir, 1977, 504 páginas.
O. A. Teorema de Oleinik S.V. Kovalevskaya y la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales // Soros Educational Journal , 1997, No. 8, p.117