Teorema de König (mecánica)

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El teorema de König nos permite expresar la energía cinética total de un sistema mecánico en términos de la energía de movimiento del centro de masa y la energía de movimiento relativa al centro de masa. Formulado y probado por J. S. König en 1751 [1]

Redacción

La energía cinética de un sistema mecánico es la energía de movimiento del centro de masa más la energía de movimiento relativa al centro de masa:

{T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,

donde es la energía cinética total del sistema, es la energía cinética del centro de movimiento de masas, es la energía cinética relativa del sistema [2] . $T$ $T_{0}$ $T_{r}$

En otras palabras, la energía cinética total de un cuerpo o sistema de cuerpos en un movimiento complejo es igual a la suma de la energía del sistema en movimiento de traslación y la energía del sistema en su movimiento relativo al centro de masa.

Una formulación más precisa [3] :

La energía cinética de un sistema de puntos materiales es igual a la suma de la energía cinética de toda la masa del sistema, mentalmente concentrada en su centro de masa y moviéndose con él, y la energía cinética del mismo sistema en su movimiento relativo. con respecto al sistema de coordenadas en movimiento de traslación con el origen en el centro de masa.

Conclusión

Demos una demostración del teorema de König para el caso en que las masas de los cuerpos que forman el sistema mecánico se distribuyen continuamente [4] . $S$

Encontremos la energía cinética relativa del sistema , interpretándola como la energía cinética calculada con respecto al sistema de coordenadas en movimiento . Sea el radio vector del punto considerado del sistema en el sistema de coordenadas en movimiento. Entonces [5] : $T_{r}$ $S$ $\ vec \ rho$ $S$

T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \ rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,

donde el punto denota el producto escalar , y la integración se realiza sobre la región del espacio ocupada por el sistema en el momento actual.

Si es el radio vector del origen del sistema en movimiento y es el radio vector del punto considerado del sistema en el sistema de coordenadas original, entonces la relación es verdadera: ${\vecr}_{0}$ ${\ vec {r))$ $S$

\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.

Calculemos la energía cinética total del sistema en el caso de que el origen de coordenadas del sistema en movimiento se coloque en su centro de masa. Teniendo en cuenta la relación anterior, tenemos:

T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r} {{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\,{\rm d}m\;.

Teniendo en cuenta que el radio vector es el mismo para todos , es posible, abriendo los paréntesis, sacarlo del signo integral : ${\vecr}_{0}$ ${\rm d}m$ $\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}$

T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{ \rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \ frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{ {\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\ ;.

El primer término del lado derecho de esta fórmula (que coincide con la energía cinética de un punto material, que se encuentra en el origen del sistema en movimiento y tiene una masa igual a la masa del sistema mecánico) se puede interpretar [2] como la energía cinética del centro de movimiento de masas.

El segundo término es igual a cero, ya que el segundo factor en él es igual a la cantidad de movimiento del sistema en relación con el centro de masa, que es igual a cero.

El tercer término, como ya se ha mostrado, es igual a , es decir, la energía cinética relativa del sistema . $T_{r}$ $S$

Véase también

Notas

↑ Gernet, 1987 , pág. 258.
↑ 1 2 Zhuravlev, 2001 , pág. 72.
↑ Sivukhin D.V. Curso general de física. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mecánica. - S. 137-138. — 560 págs. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Zhuravlev, 2001 , pág. 71-72.
↑ Zhuravlev, 2001 , pág. 71.

Literatura

Gernet M. M. Curso de Mecánica Teórica. 5ª ed. - M. : Escuela Superior, 1987. - 344 p.
Zhuravlev VF Fundamentos de mecánica teórica. 2ª ed. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 .