El teorema de Levitsky

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El teorema de Levitsky , llamado así por el matemático israelí Yaakov Levitsky , establece que cualquier ideal nulo unilateral en un anillo derecho de Noether es necesariamente nilpotente [1] [2] . El teorema es uno de los muchos resultados que dan testimonio de la veracidad de la conjetura de Koethe y, además, dan una solución a una de las preguntas de Koethe, como se describe en el artículo de Levitsky [3] . El resultado se obtuvo en 1939, pero se publicó recién en 1950 [4] . Utumi dio una prueba relativamente simple en 1963 [5] .

Prueba

A continuación se muestra el razonamiento de Utumi (como se describe en el artículo de Lam [6] )

Lema [7]

Supongamos que R satisface la condición de terminación de la cadena ascendente en los aniquiladores de la forma , donde a pertenece a R . Después

  1. Cualquier ideal nulo unilateral está contenido en un radical nulo inferior ;
  2. Cualquier nilideal derecho distinto de cero contiene un ideal derecho nilpotente distinto de cero.
  3. Cualquier nilideal izquierdo distinto de cero contiene un ideal izquierdo nilpotente distinto de cero.
Teorema de Levitsky [8]

Sea R un anillo noetheriano recto. Entonces cualquier R nilideal unilateral es nilpotente. En este caso, los nilrradicales superior e inferior son iguales y, además, este ideal es el ideal nilpotente más grande entre los ideales nilpotentes de derecha y entre los ideales nilpotentes de izquierda.

Demostración : En virtud del lema anterior, basta con demostrar que el radical nulo inferior R es nilpotente. Dado que R es un anillo noetheriano recto, existe un N ideal nilpotente máximo . La maximalidad de N implica que el anillo cociente R / N no tiene ideales nilpotentes distintos de cero, por lo que R / N es un anillo semisimple . Como resultado, N contiene el radical cero inferior del anillo R. Dado que el nilradical inferior contiene todos los ideales nilpotentes, también contiene N , y entonces N es igual al nilradical inferior.

Véase también

Notas

  1. ↑ Herstein, 1968 , pág. 37 Teorema 1.4.5.
  2. ↑ Isaacs, 1993 , pág. 210 Teorema 14.38.
  3. ↑ Levitzki, 1945 .
  4. ↑ Levitzki, 1950 .
  5. ↑ Utumi, 1963 .
  6. ↑ Lam, 2001 , pág. 164-165.
  7. ↑ Lam, 2001 , pág. Lema 10.29.
  8. ↑ Lam, 2001 , pág. Teorema 10.30.

Literatura