Teorema de Mittag-Leffler

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El teorema de Mittag-Leffler sobre la descomposición de una función meromórfica es uno de los principales teoremas de la teoría de las funciones analíticas, que para las funciones meromórficas da un análogo de la descomposición de una función racional en fracciones simples.

Teorema

Sea una función meromórfica que tenga polos con partes principales en puntos , y que haya segmentos de desarrollos de Taylor en potencias de . Entonces hay una secuencia de enteros y una función entera tal que para todos hay una descomposición que converge absoluta y uniformemente en cualquier círculo finito . $f(z)$ $z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots$ $g_{k}({\frac {1}{z-a_{k))})=G_{k}(z)$ $h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p) }(0)}{p!}}z^{p}$ $g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k))}\right)$ $z$ $paquete}}$ $f_{{0}}(z)$ $z\neq a_{{k}}$ $f(z)=f_{0}(z)+\sum _{k=1}^{\infty}\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_ {k}}}\derecho)-h_{k}^{p_{k}}(z)\derecho\}$ $|z|\leqslant A$

Consecuencia

Cualquier función meromórfica se puede representar como la suma de una serie , donde es una función completa, son las partes principales de las expansiones de Laurent en los polos de , numeradas en orden ascendente de sus módulos, y son algunos polinomios. $f(z)$ $f(z)=h(z)+\sum_{{n=0}}^{\infty}\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)$ $h$ $g_{n}$ $f(z)$ $P_{n}$

Literatura

Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funciones de variable compleja y algunas de sus aplicaciones. - M.: Nauka, 1964. - S. 313