Teorema de Paley-Wiener

El teorema de Paley-Wiener es el conjunto de todas las funciones enteras de tipo exponencial , por lo que coincide con el conjunto de funciones que admiten representación , donde . $f(z)$ ${\ estilo de visualización \ leq \ sigma}$ $\int _{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^{2}dx<\infty$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du$ ${\ estilo de visualización \ phi (u) \ en L^{2} (- \ sigma, + \ sigma)}$

Explicaciones

Una función entera de tipo exponencial es una función entera que, para cualquiera, satisface una desigualdad de la forma , donde los números A, B no dependen de z. El tipo exponencial de una función es el límite inferior mínimo para los valores de la constante B para los que se cumple esta desigualdad. El tipo exponencial se encuentra mediante la fórmula . Bajo entendemos el conjunto de todas las funciones medibles en el intervalo , cuyo módulo es integrable en el sentido de Lebesgue . $f(z)$ $z$ $|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$ $f(z)$ $\sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty ))}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}$ $L^{2}(-\sigma,+\sigma)$ ${\ estilo de visualización (- \ sigma, + \ sigma)}$

El teorema de Paley-Wiener-Schwartz para funciones generalizadas

Si una función generalizada se concentra en la región , entonces su transformada de Fourier es una función analítica completa del primer orden de crecimiento y tipo . Por el contrario, sea una función analítica completa del primer orden de crecimiento y tipo , que aumenta no más rápido que un cierto grado de , y sea la funcional correspondiente a esta función en el espacio . Entonces la transformada de Fourier del funcional se concentra en el dominio . $F$ $G_{b}:|x|\leqb$ ${\ estilo de visualización \ leq b}$ $f(z)=f(z_{1},...z_{n})$ ${\ estilo de visualización \ leq b}$ ${\ estilo de visualización | x | \ a \ infinito}$ ${\ estilo de visualización | x | ^ {q}}$ ${\ estilo de visualización (f, \ phi) = \ int f (x) \ phi (x) dx}$ $Z$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {f))}$ $F$ ${\ Displaystyle G_ {b}}$

Véase también

Literatura

Norbert Wiener "Soy matemático", M., 1964, 356 páginas, campo de tiro. 50.000 copias, B 48 51 (09) UDC 510 (092), cap. 8 De nuevo en casa, 1932-1933, pág. 160-168;
Viner N. , Paley R. "Transformada de Fourier en el dominio complejo", M., Nauka, 1964;
N. I. Akhiezer "Conferencias sobre teoría de la aproximación", ed. 2nd, M., Nauka, 1965, 517.2 A 95 UDC 517.51, cap. 4 “Algunas propiedades extremas de funciones enteras de tipo exponencial”, p.82 “Teorema de Wiener-Paley”, p. 179-82;
"Análisis Funcional", ed. 2, ed. S. G. Kerin , cap. 10 "Funciones generalizadas", ítem 4 "Transformada de Fourier de funciones generalizadas", ítem 7 "Teorema de Paley-Wiener-Schwartz", página 511;