Teorema de Hadwiger

El teorema de Hadwiger caracteriza valoraciones continuas en cuerpos convexos en el espacio euclidiano que son invariantes bajo movimientos. Probado por Hugo Hadwiger .

Introducción

Valoraciones

Sea la clase de todos los conjuntos convexos compactos no vacíos en . Una valoración de es una función tal que la igualdad $K^n$ $\mathbb{R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

se cumple para cualquiera tal que , ${\ estilo de visualización S, T \ en K ^ {n}}$ $S\cup T\in K^{n}$

Donde

Se dice que una valoración es continua si es continua con respecto a la métrica de Hausdorff .
Se dice que una valoración es invariante con el movimiento si para cualquier movimiento φ y cualquier movimiento $S\en K^{n}$ ${\ estilo de visualización v (S) = v (\ phi (S))}$

Medida transversal media

$k$ -ésima medida transversal promedio de un cuerpo se define como el área -dimensional promedio de proyecciones sobre planos -dimensionales. ${\ estilo de visualización W_ {k} (S)}$ $S\en K^{n}$ $k$ $S$ $k$

En particular,

${\ estilo de visualización W_ {n} (S)}$ - volumen , $S$
${\ estilo de visualización W_ {n-1} (S)}$ es proporcional a la superficie . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Redacción

Cualquier valoración continua de v en K n , invariante bajo movimientos, se puede representar como

v(S)=\sum_{j=0}^{n}c_{j}{\cdot}W_{j}(S).

Literatura

Semyon Alesker Introducción a la teoría de valoraciones en conjuntos convexos Grabaciones en video de conferencias, Escuela Matemática de Verano "Álgebra y Geometría" 25—31 de julio de 2014 Yaroslavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlín: Springer, 1957.
Klain, DA; Rota, G.-C. Introducción a la probabilidad geométrica (neopr.) . -Cambridge: Cambridge University Press , 1997. -ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. Una prueba elemental simplificada del teorema del volumen de Hadwiger // Geom . Dedicada: diario. - 2004. - vol. 105 . - P. 107-120 . -doi : 10.1023/b : geom.0000024665.02286.46 .