Teorema de Steiner-Lemus
El teorema de Steiner-Lemus es un teorema de geometría de triángulos . Se conoce como ejemplo de enunciado aparentemente simple que no tiene una prueba clásica simple, aunque sí una prueba analítica simple.
Redacción
Si un triángulo tiene 2 bisectrices, entonces el triángulo es isósceles.
Historia de la prueba
La prueba se dio en el trabajo de los geómetras alemanes Jakob Steiner y Daniel Lemus .
En 1963, el American Mathematical Monthly lanzó un concurso para la mejor prueba del teorema. Se envió una gran cantidad de evidencia, entre las cuales se encontraron interesantes y previamente desconocidas. Uno de los mejores [1] , según los editores, utiliza el método de la contradicción y un círculo que pasa por 4 puntos como construcción adicional.
En la literatura soviética, está muy extendida una prueba basada en el siguiente criterio para la igualdad de los triángulos : si el ángulo, la bisectriz de este ángulo y el lado opuesto a este ángulo de un triángulo son iguales a los elementos correspondientes de otro triángulo, entonces tales triángulos son iguales.
La prueba analítica se sigue de la fórmula para la longitud de la bisectriz
Variaciones y generalizaciones
- Un teorema similar para bisectrices de ángulos externos (segmentos de bisectrices de ángulos externos dibujados antes de la extensión de los lados) no es cierto. Un contraejemplo es el triángulo de Bottem con ángulos de 12°, 132° y 36°. En él, los segmentos de las bisectrices exteriores a los dos primeros ángulos, trazados en la intersección con las prolongaciones de los lados, son iguales al lado que une sus vértices.
Literatura
- Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 335-338. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 .
- Ponarin Yakov Petrovich. Geometría elemental. En 2 [3] vols. ed. Semionov A.V. - M. : MTsNMO, 2004 (volumen 1), 2006 (volumen 2), 2009 (volumen 3). - 312+256+192 págs. - ISBN 978-5-94057-397-5 , 978-5-94057-170-0 (todos los volúmenes), 978-5-94057-171-9 (volumen 1), 978- 5-94057-223-5 (Volumen 2), 978-5-94057-400-2 (Volumen 3). Para este teorema, véase Vol. 1, pp. 31-32.
- Weisstein, Eric W. Steiner-Teorema de Lehmus (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Varias demostraciones del teorema de Steiner-Lemus
Notas
- ↑ Coxeter G.S.M. , Greitzer S.P. Nuevos encuentros con la geometría . - M .: Nauka , 1978. - T. 14.- ( Biblioteca del Círculo Matemático ).