Teorema de las tres perpendiculares
El teorema de las tres perpendiculares es un teorema fundamental de la estereometría . [una]
Redacción
La recta trazada en un plano por la base de una inclinada, perpendicular a su proyección sobre este plano, es también perpendicular a la misma inclinada.
Prueba
Sea una perpendicular al plano , sea una recta oblicua y sea una recta en el plano que pasa por el punto y sea perpendicular a la proyección . Dibuja una línea paralela a la línea . La recta es perpendicular al plano (puesto que es paralela ), y por tanto toda recta de este plano, por tanto, es perpendicular a la recta . Dibujemos a través de líneas paralelas y un plano (las líneas paralelas definen un plano, y solo uno). La recta es perpendicular a dos rectas que se cortan que están en el plano , esto es por condición y por construcción, lo que significa que es perpendicular a cualquier recta perteneciente a este plano, lo que quiere decir que también es perpendicular a la recta .
Teorema inverso al teorema sobre tres perpendiculares
Si una recta trazada en un plano por la base de una recta inclinada es perpendicular a la propia recta inclinada, entonces también es perpendicular a su proyección.
Prueba
Sea AB la perpendicular al plano α , AC la oblicua y c la recta en el plano α que pasa por la base de la oblicua C. Trazar una recta SK paralela a la recta AB . La línea SC es perpendicular al plano α (según este teorema, ya que es paralela a AB ), y por lo tanto a cualquier línea de este plano, por lo tanto, la SC es perpendicular a la línea c . Dibujemos un plano β a través de las rectas paralelas AB y SC (las rectas paralelas definen un plano, y sólo uno). La recta c es perpendicular a dos rectas que se encuentran en el plano β , esta es AC por condición y SC , lo que significa que es perpendicular a cualquier recta perteneciente a este plano, lo que significa que también es perpendicular a la recta BC . En otras palabras, la proyección BC es perpendicular a la línea recta c que se encuentra en el plano α .
Ejemplo de uso
Demostrar que a través de cualquier punto de una línea en el espacio es posible trazar una línea perpendicular a él.
Solución
Solución: Sea a una recta y A un punto sobre ella. Tome cualquier punto X fuera de la línea a y dibuje a través de este punto y la línea a el plano α . En el plano α que pasa por el punto A , puedes dibujar una línea recta bperpendicular a a .
Notas
- ↑ Véase, por ejemplo , Geometría según Kiselyov . Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , §302 .