Teoremas de Phragmen-Lindelöf sobre el crecimiento de funciones regulares

Los teoremas de Phragmen-Lindelöf sobre el crecimiento de funciones regulares son afirmaciones de que una función de una variable compleja , regular en alguna región infinita y continua en , y también acotada en el límite de la región , o acotada en todas partes en o dentro crece lo suficientemente rápido: el "más rápido" la menor área . $F(z)$ $D$ $\overline {D}$ $\parcial D$ $D$ $\overline {D}$ $D$ $D$

El teorema del semiplano superior de Phragmen-Lindelöf

Sea la función regular en el semiplano y continua en el semiplano , y , . Entonces, o para todo , o la función tiene un orden en el semiplano no menor que la unidad. $F(z)$ $Rez>0$ ${\ Displaystyle Rez \ geqslant 0}$ $\mid F(iy)\mid <C_{0}$ $-\infty <y<\infty$ $\mid F(z)\mid <C_{0}$ $z$ ${\ Displaystyle Rez \ geqslant 0}$ $F(z)$ ${\ Displaystyle Rez \ geqslant 0}$ $\rho$

Explicaciones

Un número se llama el orden de toda la función si . En otras palabras, toda una función tiene orden , si para alguna existe una constante y una secuencia de números crecientes a positivos , tal que $\rho$ $F(z)$ $\rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r))$ $\rho$ $\epsilon > 0$ ${\ Displaystyle C_ {\ épsilon}}$ $\infty$ ${\ Displaystyle r_ {k}}$

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi })\mid \leqslant C_{\epsilon }exp(r^{\rho +\epsilon } )

$r>0$ ,

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi })\mid \geqslant C_{\epsilon }exp(r_{k}^ {\rho +\épsilon})

${\ estilo de visualización k = 1,2,}$ .

Prueba

La prueba está en el libro [1] .

Notas

↑ Métodos de interpolación de funciones y algunas de sus aplicaciones, 1971 , p. 37.

Literatura

Ibragimov II Métodos de interpolación de funciones y algunas de sus aplicaciones. — M .: Nauka, 1971. — 518 p.