Punto de Apolonio

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El punto Ap de Apolonio  es un punto especial en un triángulo. Se define como el punto de intersección de las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos de contacto de las 3 excircunferencias del triángulo con la circunferencia circunscrita a ellas. Relacionado con el problema de Apolonio . En la Enciclopedia de los Centros de los Triángulos, se hace referencia a él como el centro de un triángulo con el nombre X(181).

Un ejemplo de aplicación del punto de Apolonio a la solución del problema de Apolonio

La tarea de Apolonio  es construir un círculo tangente a tres círculos dados utilizando un compás y una regla. Una de las variantes de este problema, cuando la tercera circunferencia toca exteriormente a las tres circunferencias interiores, se resuelve introduciendo el punto de Apolonio Ap [1] [2] .

• El punto Ap de Apolonio en la Enciclopedia de los Centros de los Triángulos se conoce como el centro del triángulo con el nombre X(181).
• En el marco de este problema, el círculo de Apolonio (que no debe confundirse con los círculos de Apolonio ) es un círculo que toca internamente a tres excircunferencias fuera del triángulo (ver el círculo verde en la figura).

Circunferencia de Apolonio

Definición del círculo de Apolonio

• Sea el triángulo ABC . Sean las excircunferencias del triángulo ABC , opuestas a los vértices A , B y C , respectivamente E A , E B , E C (ver figura). Luego , el círculo de Apolonio E (que se muestra en verde en la figura de la derecha) toca internamente tres excírculos del triángulo ABC en los puntos E A , E B y E C respectivamente (ver figura) [3] .

• La solución del problema particular de Apolonio mencionado anteriormente es el círculo indicado E tangente a los tres círculos dados E A , E B y E C externamente.

Radio del círculo de Apolonio

El radio de la circunferencia de Apolonio es , donde r  es el radio de la circunferencia inscrita y s  es el semiperímetro del triángulo. [cuatro]

Definición del punto de Apolonio Ap

• El punto de Apolonio Ap o X(181) en la Encyclopedia of Triangle Centers , descrito en 1987, se define de la siguiente manera:

Sean A' , B' y C' los puntos tangentes de la circunferencia de Apolonio E con las correspondientes excircunferencias. Entonces las líneas AA' , BB' y CC' se cortan en un punto Ap , que se llama el punto de Apolonio del triángulo ABC .

• Sus coordenadas trilineales son:

Nota

En la figura, el punto indicado de Apolonio Ap se muestra como el punto de intersección de tres perpendiculares a los lados del triángulo ABC , bajadas de los puntos de tangencia A' , B' y C' con las correspondientes circunferencias del triángulo ABC . , formado por la unión de las rectas tangentes por pares de las tres circunferencias mencionadas anteriormente E A , E B y E C . Aunque este punto Ap se encuentra en el punto de intersección de los tres segmentos AA' , BB' y CC' , no son perpendiculares a los lados del triángulo. De hecho, sus proyecciones a los lados del triángulo ABC son los vértices de un triángulo equilátero, y las perpendiculares a los lados del triángulo se cortan en su ortocentro. Las proyecciones del ortocentro sobre los lados del triángulo no son los vértices de un triángulo equilátero. El ortocentro y el punto Ap de Apolonio coinciden únicamente en un triángulo equilátero. Otros triángulos no coinciden.

Propiedad

• El triángulo subdérmico del punto de Apolonio es un triángulo equilátero .

Coordenadas trilineales

Coordenadas trilineales del punto de Apolonio Ap :

Véase también

• Puntos de Apolonio

Notas

1. ↑ Kimberling, Clark Punto de Apolonio . Consultado: 16 de mayo de 2012. (indefinido)
2. ↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. Problema 1091 y Solución  //  Crux Mathematicorum : diario. - 1987. - vol. 13 _ - pág. 217-218 .
3. ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. El círculo de Apolonio como círculo de Tucker // Forum Geometricorum. - 2002. - Edición. 2 . - S. 175-182 .
4. ↑ Milorad R. Stevanovi´c. El círculo de Apolonio y los centros triangulares relacionados // Forum Geometricorum. - 2003. - Edición. 3 . - S. 187-195. .