Secuencia de Euler exacta

La sucesión exacta de Euler es cierta sucesión exacta de poleas en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un anillo . Muestra que el paquete cotangente de un espacio proyectivo es establemente isomorfo a ( n + 1) -suma de pliegues de paquetes tautológicos (ver Serre twist sheaf ). ${\mathcal {O}}(-1)$

Redacción

Para un anillo conmutativo A , existe una secuencia exacta de poleas

0\to \Omega_{\mathbb {P}_{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P}_{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P}_{A}^{n}}\to 0.

Para demostrarlo, basta con definir un homomorfismo , donde y elevado a 1, sobreyectivo en potencias y comprobar que localmente en las ( n +1)ésimas cartas afines estándar, su núcleo es isomorfo al módulo de diferenciales relativas . [una] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i))$ $S=A[x_{0},\ldots,x_{n}]$ $e_i = 1$ ${\ estilo de visualización \ geq 1}$

Interpretación geométrica

Suponemos que el anillo A es un campo k .

La secuencia exacta anterior es equivalente a la secuencia

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\a 0

donde el último término distinto de cero es el lápiz tangente.

Considere un espacio vectorial V - ( n + 1)-dimensional sobre k y explique la secuencia exacta

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V \to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0

Esta secuencia se comprende más fácilmente si se interpreta el término medio como un haz de campos vectoriales homogéneos de 1 en un espacio vectorial V . Hay una sección notable de este paquete, el campo vectorial de Euler, definido tautológicamente comparando un punto en el espacio vectorial con el vector correspondiente a este punto, transferido al espacio tangente en este punto.

Este campo vectorial es radial en el sentido de que se anula en funciones 0-homogéneas, es decir, funciones que son invariantes bajo la homotecia centrada en cero.

Una función (definida en algún conjunto abierto) en induce una función 0-homogénea en V (nuevamente parcialmente definida). Obtenemos campos vectoriales 1-homogéneos multiplicando el campo vectorial de Euler por tales funciones. Esto define la primera pantalla. ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} (V)}$

El segundo mapeo está relacionado con el concepto de derivaciones, que es equivalente al concepto de campos vectoriales. Recuerde que un campo vectorial en un subconjunto abierto U de un espacio proyectivo se puede definir como una derivación de funciones definidas en este conjunto abierto. Considerando la preimagen en V , esto es equivalente a derivar sobre la preimagen U conservando funciones homogéneas en 0. Cualquier campo vectorial on puede obtenerse de esta manera, y el núcleo de la aplicación resultante consta exactamente de campos vectoriales radiales. ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} (V)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} (V)}$

El paquete de líneas canónicas de un espacio proyectivo

Pasando a poderes exteriores superiores , encontramos que la gavilla canónica de un espacio proyectivo tiene la forma

\omega_{\mathbb {P}_{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P}_{A}^{n}}(- (n+1))

En particular, los espacios proyectivos son variedades de Fano porque el paquete de líneas canónicas es anti - amplio .

Notas

↑ Hartshorne, 1981 , Teorema II.8.13.

Literatura

Hartshorne R. Geometría algebraica / transl. De inglés. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.