Transposición (matemáticas)

En matemáticas , una transposición es una biyección de un conjunto en sí mismo, reorganizando dos elementos de este conjunto.

Formal definición

Dado un conjunto finito , una transposición en él es una permutación ( una función biyectiva de a ) tal que hay índices y tal que , y para todos los demás índices ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\))$ $X$ $X$ $F$ $i$ $j$ ${\ Displaystyle f (a_ {i}) = a_ {j))$ ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i))$ ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k))$ $k.$

La transposición a menudo se representa como un ciclo. ${\ estilo de visualización (a_ {i}, a_ {j}).}$

Ejemplo

Por ejemplo, si , la función se define como ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\))$ $\sigma$

{\begin{matriz}\sigma (a)&=&a\\\sigma (b)&=&e\\\sigma (c)&=&c\\\sigma (d)&=&d\\\ sigma (e)&=&b\end{matriz}},

entonces esta permutación es una transposición.

Propiedades

Cualquier permutación puede representarse como una composición (producto) de transposiciones.

El signo de una permutación se puede determinar a partir de la descomposición de una permutación en un producto de transposiciones: , donde es el número de transposiciones en la descomposición. ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma)=(-1)^{m))$ $metro$

Véase también

Permutación