Barrio tubular

Una vecindad tubular de una subvariedad en una variedad es un conjunto abierto que rodea a la subvariedad y está estructurado localmente como un paquete normal .

Motivación

Aclaremos la noción de barrio tubular con un ejemplo sencillo. Considere una curva suave en el plano sin autointersecciones. En cada punto de la curva, dibuje una línea perpendicular a esta curva. Si la curva no es recta , estas perpendiculares pueden intersecarse entre sí de formas bastante complejas. Sin embargo, si consideramos una cinta muy estrecha alrededor de la curva, las piezas de las perpendiculares que se encuentran en la cinta no se cruzarán y cubrirán toda la curva sin espacios. Tal cinta es solo una vecindad tubular de la curva.

En el caso general, considere una subvariedad de la variedad M y N es el paquete normal a la subvariedad S en M. En este caso, S juega el papel de una curva y M juega el papel de un plano que contiene esta curva. Considere el mapeo natural $S\subconjunto M$

i:N_{0}\rightarrow S

que establece una correspondencia uno a uno entre la sección cero del paquete N y una subvariedad S de M . Sea j la extensión de esta aplicación a todo el paquete normal N con valores en la variedad M , donde j ( N ) es un conjunto abierto en M , y j es un homeomorfismo entre N y j ( N ). Entonces j se llama vecindad tubular. $N_{0}$

A menudo, la vecindad tubular de una subvariedad S no se llama el propio mapa j , sino su imagen T = j ( N ), lo que implica la existencia de un homeomorfismo j entre los conjuntos N y T.

Propiedades

Para una subvariedad suave cerrada de una variedad de Riemann, el conjunto de puntos a una distancia de forma una vecindad tubular para todos los valores positivos suficientemente pequeños de . $norte$ $N_\varepsilon$ $<\varepsilon$ $norte$ $norte$ $\varepsilon$

Véase también

fórmula de tubo

Literatura

M. Hirsch Topología diferencial. - M: Mir, 1979. [1]