Ecuación de Carathéodory

La ecuación de Carathéodory (llamada así por el matemático alemán de origen griego Constantine Carathéodory ) es una ecuación diferencial ordinaria

{\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots,\;x_{n})\in \mathbb {R } ^{n},\ n\geqslant 1,\quad(*)

en el que el lado derecho (es decir, las componentes de la función vectorial ) no satisface la condición clásica que asegura la existencia y unicidad de una solución con un valor inicial dado (continuidad en el conjunto de argumentos y condición de Lipschitz en ), sino una condición mucho más débil llamada condición de Carathéodory : $F$ $X$

la función vectorial es definida y continua con respecto a casi todo (en el sentido de la medida de Lebesgue ) en una región del espacio . $F$ $X$ $t$ $D$ ${\ estilo de visualización (t, \; x)}$
la función vectorial es medible con respecto a para cada uno en el dominio . $F$ $t$ $X$ $D$
para cada intervalo acotado del eje en la región , la desigualdad se cumple donde es la función sumable (es decir , integrable de Lebesgue ). $t$ $D$ $|f(t,\;x)|\leqslant m(t),$ $monte)$

Una solución de la ecuación de Carathéodory (*) con una condición inicial es una función vectorial medible que satisface la ecuación integral $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t),$

x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad ( **)

La integral en (**) se entiende en el sentido de la integral de Lebesgue para cada componente de la función vectorial . La corrección de la definición se basa en el hecho de que la composición de una función medible y una función que satisface la condición de Carathéodory es una función integrable de la variable $F$ $x(t)$ ${\ estilo de visualización f (t, \; x)}$ $t.$

Las ecuaciones de Carathéodory encuentran aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas. Además, tienen muchas de las propiedades inherentes a las ecuaciones clásicas con lado derecho continuo.

Teorema de existencia y unicidad

Supongamos que la condición de Carathéodory se cumple en la región , entonces existe tal que la ecuación (*) con la condición inicial tiene solución en el intervalo , cualquier número que satisfaga las condiciones puede tomarse como ${\displaystyle D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\))$ ${\ estilo de visualización a, \; b> 0,}$ $\delta>0,$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)$ $[t_{0},\;t_{0}+\delta ].$ $\delta$

0<\delta \leqslant a,\quad \mu (t_{0}+\delta)\leqslant b,\quad \mu (t):=\int \limits _{t_{0))^{ t}m(\tau )\,d\tau .

Si existe una función integrable tal que la desigualdad $yo(t),$

|f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|xy|,\quad \forall (t,\;x),\;(t,\ ;y)\en D,

o desigualdad

(f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot (xy)\leqslant l(t)|xy|^{2},\quad \forall (t,\; x),\;(t,\;y)\en D,

donde en caso de que el punto signifique el producto escalar , entonces la ecuación (*) con la condición inicial en el dominio tiene como máximo una solución. $n>1$ $x(t_{0})=x_{0}$ $D$

Literatura

Filippov AF Ecuaciones diferenciales con lado derecho discontinuo. - Moscú: Nauka, 1985.

Enlaces

Akhmerov R. R. Ensayos sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias