Ecuación de Meshchersky

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La ecuación de Meshchersky es la ecuación básica en la mecánica de cuerpos de masa variable, obtenida por I. V. Meshchersky en 1897 [1] para un punto material de masa variable (composición).

La ecuación generalmente se escribe de la siguiente forma:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

dónde:

$Monte)$ es la masa de un punto material, que cambia debido al intercambio de partículas con el ambiente, en un tiempo arbitrario t;
${\mathbfv}$ es la velocidad de movimiento de un punto material de masa variable;
${\matemáticas F}$ - la resultante de fuerzas externas que actúan sobre un punto material de masa variable desde su entorno externo (incluso, si esto ocurre, desde el lado del medio con el que intercambia partículas, por ejemplo, fuerzas electromagnéticas - en el caso de transferencia de masa con un medio magnético, la resistencia del movimiento del medio, etc.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ es la velocidad relativa de las partículas que se unen;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ es la velocidad relativa de las partículas separadas;
${\frac{dm_{1}}{dt}}>0$ y son la tasa de aumento de la masa total de las partículas adheridas y la tasa de aumento de la masa total de las partículas separadas, respectivamente. ${\frac{dm_{2}}{dt}}>0$

La fórmula de Tsiolkovsky se puede obtener como resultado de resolver esta ecuación.

Tamaño:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} {dt}}

denominada "potencia reactiva" .

Habitualmente [2] [3] [4] la ecuación de Meshchersky se obtiene a partir de la ecuación de la tasa de cambio del momento del sistema de puntos materiales, que tiene la forma:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

donde es el impulso del sistema, igual a la suma de los impulsos de todos los puntos materiales que componen el sistema, y es la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre los cuerpos del sistema. A continuación, se muestra una derivación de la ecuación usando un enfoque de este tipo. ${\ vec P}$ ${\vec{F}}$

Derivación de la ecuación de Meshchersky

Considere un cuerpo de masa variable . Deje que una pequeña masa se una al cuerpo durante un período de tiempo , que tenía una velocidad antes de unirse , y se separa una pequeña masa , cuya velocidad después de la separación se vuelve igual a . Como el sistema que nos interesa, consideraremos los tres cuerpos mencionados. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\ vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\ vec {v}}_{2}$

De acuerdo con la ley de conservación de la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento del sistema al principio y al final del proceso en consideración es la misma:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

donde es el cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo principal debido tanto al cambio en su velocidad como al cambio en su masa. $d(M{\vec {v)))$

Teniendo en cuenta que , de (1) obtenemos: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

El cambio en la masa del cuerpo principal está asociado con y la relación , por lo tanto, de (2) se sigue: $DM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

Después de pasar de diferenciales a derivadas y reorganizar los términos, (3) toma la forma:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Introduciendo las velocidades relativas de las partículas e iguales a y respectivamente , y sumando la resultante de las fuerzas externas , obtenemos la ecuación de Meshchersky en su forma final. ${\vec{u}}_{1}$ ${\ vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Ecuación relativista de Meshchersky

Los primeros trabajos [5] dedicados al estudio del movimiento de los cohetes teniendo en cuenta los efectos relativistas fueron los trabajos de Akkeret [6] y Zenger [7] .

Al derivar la ecuación de Meshchersky, adecuada para el caso de velocidades comparables a la velocidad de la luz, se utiliza la expresión para el momento relativista . Como resultado, la ecuación toma la forma: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}}\derecha)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\derecha).

En esta ecuación, en el caso general, no se introducen velocidades relativas y , ya que en el caso relativista la suma de velocidades se realiza de forma diferente. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

Para el caso de solo partículas separadas a una velocidad colineal con la velocidad del cohete, esta ecuación se reduce a la siguiente forma:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

donde es la velocidad de las partículas con respecto al cohete. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Historial de descubrimientos

La ecuación de movimiento de un punto material de masa variable para el caso de unión (o separación) de partículas fue obtenida e investigada a fondo en la tesis de maestría de IV Meshchersky, defendida en la Universidad de San Petersburgo el 10 de diciembre de 1897 [8] . El primer informe sobre la ecuación de movimiento de un punto material de masa variable en el caso general de unión y separación simultánea de partículas fue realizado por I. V. Meshchersky el 24 de agosto de 1898 en una reunión de la sección de matemáticas y astronomía del X Congreso de Naturalistas y médicos rusos en Kiev , se hizo ampliamente conocido más tarde, después del trabajo "Ecuaciones de movimiento de un punto de masa variable en el caso general", publicado en las "Actas del Instituto Politécnico de San Petersburgo" en 1904 [9] .

Cabe señalar .en)1851_G.K.que según

Notas

↑ Kosmodemyansky A. A. “Actividad científica de Ivan Vsevolodovich Meshchersky” págs. 9-25 en el libro de I. V. Meshchersky. Trabaja sobre la mecánica de cuerpos de masa variable. ed. 1er. — M.: GITTL, 1949. p.13.
↑ Sivukhin D.V. Curso general de física. — M .: Fizmatlit; Editorial MIPT, 2005. - T. I. Mecánica. — Art. 119-120. — 560 págs. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. - M. : Escuela Superior, 1986. - S. 287-288. — 416 pág.
↑ Irodov I. E. Leyes básicas de la mecánica. - M. : Escuela superior, 1985. - S. 41. - 248 p.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Fundamentos de las teorías macroscópicas de la gravedad y el electromagnetismo. - M.: Nauka, 1989. Pág. 153.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Munchen, 1956 (traducción al ruso: M .: IL, 1958).
↑ Meshchersky I. V. Trabajos sobre la mecánica de cuerpos de masa variable. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1952. - P. 37.
↑ Meshchersky I. V. Trabajos sobre la mecánica de cuerpos de masa variable. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1952. - P. 222.
↑ Desarrollo de los fundamentos de la dinámica de un sistema de composición variable y la teoría de la propulsión a chorro. — M.: 1977
↑ "Estudios de historia de la física y la mecánica". Moscú: Nauka, 1986, pág. 191-238

Literatura

Meshchersky I. V. "Dinámica de un punto de masa variable" // En el libro. I. V. Meshchersky. Trabaja sobre la mecánica de cuerpos de masa variable. ed. 2do. — M.: GITTL, 1952. — 280 p. págs. 37-188.
Meshchersky I.V. , "Las ecuaciones de movimiento de un punto de masa variable en el caso general" // En el libro. I. V. Meshchersky. Trabaja sobre la mecánica de cuerpos de masa variable. ed. 2do. — M.: GITTL, 1952. — 280 p. págs. 222-264.
Mikhailov G. K. "Sobre la historia de la dinámica de los sistemas de composición variable" Izvestiya AN SSSR: Rigid Body Mechanics, 1975, No. 5, p. 41-51.
Mikhailov GK Sobre la historia de la dinámica de los sistemas de composición variable y la teoría de la propulsión a chorro. M.: Instituto de Problemas de Mecánica de la Academia de Ciencias de la URSS, 1974.
Karagodin V. M. Fundamentos teóricos de la mecánica corporal con composición variable. M.: Oborongiz, 1963. 178s.
Mecánica de cuerpos de masa variable : un artículo de la Enciclopedia física
Kilchevsky N.A. Curso de Mecánica Teórica. Tomo 1. M.: Nauka, 1977. Capítulo IV “Dinámica de un punto de masa variable” Párrafo 221.- Derivación de la ecuación de Meshchersky (pp. 433-435).
Aizerman MA Mecánica clásica. 2ª ed. M.: Nauka, 1980. - 368s. Capítulo 3. Sección 9. Aplicación de los teoremas fundamentales de la mecánica al movimiento de un sistema de composición variable. págs. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Mecánica teórica (adiciones a las secciones generales). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 p. - ISBN 5-9221-0703-8 (Párrafos 2.5. Cinemática de un sistema de composición variable. pp.71-77; 3.4. Cantidades dinámicas básicas de un sistema de composición variable. pp.91-94; 6.2. El problema de el movimiento del centro de masa durante la interacción de un cuerpo con pp 170-172 6.3 El teorema sobre el cambio en el momento de un sistema de composición variable pp 172-180 6.6 Aplicación del teorema sobre el cambio de energía cinética a un sistema de composición variable. pp. 200-207; 7.2. La ecuación general analítica dinámica para un sistema de puntos de masa variable, pp. 215-227.)
Sedov L. I. Sobre la teoría relativista del vuelo de cohetes // Matemáticas y mecánica aplicadas - 1986. - V. 50, no. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Fundamentos de las teorías macroscópicas de la gravedad y el electromagnetismo. — M.: Nauka, 1989. — 272 p. — ISBN 5-02-013805-3 . Capítulo III. párrafo 4. Teoría relativista del vuelo de cohetes.

Enlaces

Borodovsky VN Misiles domésticos. Historia y futuro