Ecuaciones de Peterson-Codazzi

Las ecuaciones de Peterson-Mainardi-Codazzi son ecuaciones que, junto con la ecuación de Gauss , constituyen las condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad del sistema, a lo que se reduce el problema de recuperar una superficie desde su primera y segunda forma cuadrática .

Ecuaciones

Las ecuaciones de Peterson-Mainardi-Codazzi tienen la forma

{\frac {\parcial b_{i1}}{\parcial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2} b_{22}={\frac {\parcial b_{i2}}{\parcial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{ 2}b_{21}

donde son coeficientes de la segunda forma cuadrática, son símbolos de Christoffel . $b_{{ij}}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$

Propiedades

El teorema de Bonnet. Si y , son dos formas cuadráticas suaves en el dominio que satisfacen las ecuaciones de Peterson-Codazzi, entonces también existe una superficie única (hasta los movimientos) en la que estas formas son la primera y la segunda forma cuadrática. ${\ Displaystyle g = g_ {ij}}$ $b=b_{ij}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,2\))$ $tu$ $\mathbb{R} ^{3}$
- Este teorema también fue demostrado por Peterson en su disertación.

Historia

Las ecuaciones fueron encontradas por primera vez por Peterson [1] en 1853, redescubiertas por Mainardi [2] y Codazzi (1867) [3] .

Notas

↑ Peterson, KM "Über die Biegung der Flächen". Dorpat. candidatonschrift. 1853.
↑ Mainardi, G. "Sulle coordina curvilinee d'una superfice dello spazio". Giornale del R. Instituto Lombardo 9, 385-398, 1856.
↑ Codazzi, D. "Sulle coordina curvilinee d'una superficie dello spazio". Ana. Matemáticas. pura aplicata 2, 101-19, 1868-1869.

Literatura

Rashevsky P.K., Curso de geometría diferencial , M., 1956.
Toponogov, V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .