Condiciones de radiación de Sommerfeld

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Ecuación de Helmholtz [1] :

\Delta U+k^{2}U=f

- tiene más de una solución en la clase de funciones ( generalizadas ) que se anulan en el infinito. Para aislar la clase de unicidad de la solución (por conveniencia, elija una solución específica) en dominios ilimitados, es necesario requerir restricciones adicionales sobre la solución en el infinito. Estas restricciones fueron las condiciones de radiación de Sommerfeld:

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\parcial u(x)}{\parcial |x|}}- iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left(1\right)

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\parcial u(x)}{\parcial |x|}}+ iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left({\overline {1}}\right)

Las condiciones de radiación corresponden a ondas que van al infinito, y las condiciones corresponden a ondas que vienen del infinito. Para funciones armónicas , las condiciones de radiación se derivan de un solo requisito: . También se puede demostrar que para cualquier solución de la ecuación de Helmholtz homogénea que satisfaga la segunda de las condiciones o satisfaga la primera condición: ${\ estilo de visualización \ izquierda (1 \ derecha)}$ $\left({\overline {1}}\right)$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (k = 0 \ derecha)}$ $u\left(\infty\right)=0$ $k>0$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (1 \ derecha)}$ $\left({\overline {1}}\right)$ $u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right)$

Notas

↑ Vladimirov V. S. "Ecuaciones de la física matemática", M., "Nauka", 1981, p.438-439

Literatura

A. Sommerfeld . Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1912. - vol. 21. - Pág. 309-353.
S. H. Schot. Ochenta años de la condición de radiación de Sommerfeld // Historia Mathematica. - 1992. - vol. 19. - Pág. 385-401.
S. V. Molodtsov. Condiciones de radiación de Sommerfeld // Enciclopedia física