Fórmula de Kirchhoff

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La fórmula de Kirchhoff es una expresión analítica para resolver una ecuación diferencial parcial hiperbólica (la llamada "ecuación de onda") en todo el espacio tridimensional. Por el método de descenso (es decir, reducción de dimensionalidad), se pueden obtener soluciones de las ecuaciones bidimensionales ( fórmula de Poisson ) y unidimensionales ( fórmula de D'Alembert ).

Redacción completa del problema y respuesta

Considere la ecuación

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2))}-a^{2}\triángulo u=f

, donde las funciones y están definidas en , y es el operador de Laplace .

{\ estilo de visualización u = u (\ mathbf {x}, t)}

{\ estilo de visualización f = f (\ mathbf {x}, t)}

{\displaystyle (\mathbf {x},t)\en \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+))

\triángulo

Esta ecuación define la propagación de una onda viajera en un medio homogéneo bidimensional con una velocidad a veces . $norte$ $a$ $t>0$

Para que la solución sea inequívoca, es necesario determinar las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales determinan el estado del espacio (o, dicen, "perturbación inicial") en el momento del tiempo : $t=0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\parcial u}{\parcial t))\right| _ {t = 0} = \ varphi _ {1} ({\ bar {x}}}

Entonces la fórmula generalizada de Kirchhoff da una solución a este problema en el caso tridimensional:

u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\parcial }{\parcial t))\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t))\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

donde las integrales de superficie se toman sobre la esfera . $S\dos puntos \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$

El mismo Kirchhoff consideró sólo el caso tridimensional.

Una simple derivación de la solución al problema principal utiliza la transformada de Fourier .

Consecuencias físicas

Sea una perturbación local ( y/o ) en algún conjunto compacto en el momento inicial de tiempo . Si estamos en algún punto , entonces, como se puede ver en la fórmula (área de integración), sentiremos la perturbación después de un tiempo . $t=0$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {0} \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {1} \ neq 0}$ ${\bar {x}}_{0}\en \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\derecho|$

Fuera del intervalo de tiempo , donde , la función es igual a cero. ${\ estilo de visualización \ izquierda [t_ {1}; t_ {2} \ derecha]}$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\derecho|$ ${\ estilo de visualización u (x_ {0}, t)}$

Así, la perturbación inicial, localizada en el espacio, provoca en cada punto del espacio una acción localizada en el tiempo, es decir, la perturbación se propaga en forma de onda con frentes delantero y trasero, lo que expresa el principio de Huygens ). En el avión, este principio se viola. La justificación de esto es el hecho de que el portador de la perturbación, que es compacto en , ya no lo será en , sino que formará un cilindro infinito y, en consecuencia, la perturbación será ilimitada en el tiempo (las ondas cilíndricas no tienen borde de salida) . [una] $\matemáticas {R} ^{2}$ $\mathbb{R} ^{3}$

La fórmula de Poisson - Parseval

Solución de la ecuación de vibraciones de la membrana (espacio bidimensional)

u_{tt}=a^{2}\triángulo u+f

(la función corresponde a la fuerza motriz externa)

f(x,t)

con condiciones iniciales

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

dado por la fórmula:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits_{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\parcial }{\parcial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\raíz cuadrada {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

Fórmula de D'Alembert

Solución de la ecuación de onda unidimensional

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(la función corresponde a la fuerza motriz externa)

f(x,t)

con condiciones iniciales

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

tiene la forma [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(s,\tau)dsd\tau

Al utilizar la fórmula de d'Alembert, se debe tener en cuenta que a veces la solución puede no ser única en toda el área bajo consideración . La solución de la ecuación de onda se representa como la suma de dos funciones: , es decir, está determinada por dos familias de características: . El ejemplo que se muestra en la figura de la derecha ilustra la ecuación de onda para una cuerda semi-infinita, y las condiciones iniciales en ella se dan solo en la línea verde . Se puede ver que tanto -características como -características vienen al dominio , mientras que solo hay -características en el dominio. Es decir, la fórmula de d'Alembert no funciona en la región. ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {1} \ veces [0, T]}$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+en=\xi,\x-en=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Aplicación de fórmulas

En general, la fórmula de Kirchhoff es bastante engorrosa y, por lo tanto, resolver problemas de física matemática con su ayuda suele ser difícil. Sin embargo, se puede utilizar la linealidad de la ecuación de onda con condiciones iniciales y buscar una solución en la forma de la suma de tres funciones: , que satisfacen las siguientes condiciones: ${\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2))}=a^{2}\triángulo u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\ u_{t}({\bar {x)),0)=\ varphi _ {1}({\bar {x)))$ ${\ estilo de visualización u (x, t) = A (x, t) + B (x, t) + C (x, t)}$

{\frac {\parcial ^{2}A}{\parcial t^{2))}=a^{2}\triángulo A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\parcial ^{2}B}{\parcial t^{2))}=a^{2}\triángulo B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\parcial ^{2}C}{\parcial t^{2))}=a^{2}\triángulo C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

Por sí misma, tal operación no simplifica el uso de la fórmula de Kirchhoff, pero para algunos problemas es posible seleccionar una solución o reducir un problema multidimensional a uno unidimensional cambiando las variables. Por ejemplo, deja . Entonces, después del reemplazo , la ecuación del problema "C" tomará la forma: ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2))))$ ${\ estilo de visualización \ xi = x + 3y-2z}$

{\frac {\parcial ^{2}C}{\parcial t^{2))}=14a^{2}{\frac {\parcial ^{2}C}{\parcial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Por lo tanto, llegamos a una ecuación unidimensional, lo que significa que podemos usar la fórmula de d'Alembert:

C(\xi,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}a}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ left(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}a)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}a)\right).

Debido a la paridad de la condición inicial, la solución conservará su forma en toda la región . $t>0$

Notas

↑ FÓRMULA DE KIRCHHOFF // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M . : Enciclopedia soviética (vol. 1-2); Gran Enciclopedia Rusa (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Fórmula de D'Alembert . Archivado el 20 de marzo de 2012 en Wayback Machine en la Enciclopedia de Física .

Literatura

Mijailov V.P. , Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Recopilación de tareas típicas de la asignatura Ecuaciones de Física Matemática. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .

Enlaces

Sección sobre la fórmula de d'Alembert