Fórmula de Liouville-Ostrogradsky

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La fórmula de Liouville-Ostrogradsky es una fórmula que relaciona el determinante de Wronsky (wronskiano) para soluciones de una ecuación diferencial y los coeficientes de esta ecuación.

Sea una ecuación diferencial de la forma

$y^{{(n)}}+P_{1}(x)y^{{(n-1)}}+P_{2}(x)y^{{(n-2)}}+.. .+P_{n}(x)y=0,$

entonces donde esta el determinante de vronsky $W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{ -\int P_{1}(x)dx},$ $ancho(x)$

Para un sistema homogéneo lineal de ecuaciones diferenciales

$y'(x)=A(x)y(x),$ donde es una matriz cuadrada continua de orden , la fórmula de Liouville-Ostrogradsky es válida $Hacha)$ $norte$

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mahop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ donde esta la traza de la matriz ${\mahop {{\rm {tr}}}}A(x)$ $Hacha)$

Regla de diferenciación para un determinante de dimensión 2

La derivada del determinante con respecto a la variable x tiene la forma $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatriz}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}} (x)\end{vmatriz}}=a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}}$ ${\frac{d\Delta }{dx}}=(a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}})'=a_{{11}}'a_ {{22}}+a_{{11}}a_{{22}}'-a_{{12}}'a_{{21}}-a_{{12}}a_{{21}}'={\ comenzar{vmatrix}a_{{11}}'&a_{{12}}'\\a_{{21}}&a_{{22}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11} }&a_{{12}}\\a_{{21}}'&a_{{22}}'\end{vmatriz}}$

Regla de diferenciación de determinante de dimensión $norte$

Dejar $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matriz}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x) \\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\puntos &a_{{2n}}(x)\\\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\a_{{ n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\puntos &a_{{nn}}(x)\\\end{matriz}}\right)$

Entonces para la derivada es verdadera $\Delta '(x)$

$\Delta '(x)={\begin{vmatriz}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\dots &a_{{1n}}'(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\puntos &a_{{2n}}(x)\\\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\a_{{n1}}( x)&a_{{n2}}(x)&\puntos &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatriz}}+{\begin{vmatriz}a_{{11}}(x)&a_{{ 12}}(x)&\puntos &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\puntos &a_{{2n}}' (x)\\\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\puntos &a_{{nn}}(x)\\ \end{vmatrix}}+\puntos +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\puntos &a_{{1n}}(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\puntos &a_{{2n}}(x)\\\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\a_{{n1}}' (x)&a_{{n2}}'(x)&\puntos &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatriz}}$

(la -ésima fila se diferencia en el -ésimo término ) $i$ $i$

Prueba

Usamos la fórmula para la expansión completa del determinante

$\Delta (x)=\sum_{{i_{1},i_{2},\dots,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\ puntos ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cpuntos a_{{ni_{n}}}(x)$

La suma se toma sobre todas las posibles permutaciones de números , es la paridad de la permutación . $1,2,\puntos,n$ $P(\cdot)$

Derivando esta expresión con respecto a , obtenemos $X$

${\begin{alineado}[l]\Delta '(x)&=\sum_{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P( i_{1},i_{2},\puntos,i_{n})}}{\frac {d\left(a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\sum_{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n }}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\puntos,i_{n})}}\left(a_{{1i_{1}}}'(x)a_{ {2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\dots +a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\right)=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}( -1)^{{P(i_{1},i_{2},\puntos,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\sum_{{i_{1},i_{2},\dots,i_{n}}}(-1) ^{{P(i_{1},i_{2},\puntos,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}'(x) \cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\dots +\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}} (-1)^{{P(i_{1},i_{2},\puntos,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\end{alineado}}$

En cada suma se diferencian los elementos de la -ésima fila y solo ellos. Sustituyendo las sumas por determinantes, obtenemos $i$

Prueba de una ecuación de segundo orden

Sean continuas las funciones en la ecuación en , y $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ $p(x),q(x)$ $[a;b]$

$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$ son soluciones de esta ecuación.

Derivando el determinante de Wronsky, obtenemos

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}'&y_{ {2}}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}'&y_{{2}}'\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end {vmatriz}}+{\begin{vmatriz}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}''&y_{{2}}''\end{vmatriz}}$

El primer término es 0, ya que este determinante contiene 2 filas idénticas. Sustituyendo

$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$

$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$

en el segundo término, obtenemos

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'- qy_{2}\end{vmatriz}}$

Sumando la primera fila, multiplicada por q, a la segunda, obtenemos

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatriz}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatriz}} =-pW$

las soluciones son linealmente independientes , por lo que

$W\neq 0\to {\frac {dW}{W}}=-pdx$ es una ecuación diferencial con variables separables.

Integrando, obtenemos

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x) dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$

Prueba para un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sean funciones vectoriales soluciones de un sistema lineal de EDO. Introducimos la matriz de la siguiente manera ${{\mathbf y}}_{1}(x),{{\mathbf y}}_{2}(x),\dots,{{\mathbf y}}_{n}(x)$ $\Fi$

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matriz}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\ puntos &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matriz}}\right\|$

entonces _ Usemos el hecho de que son soluciones del sistema ODE, es decir, . $W(x)\equiv\det\Phi (x)$ $y_{i}(x)$ ${{\mathbf y}}_{i}'(x)=A(x){{\mathbf y}}_{i}(x)$

En forma matricial, este último se puede representar como $\left\|{\begin{matriz}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\ mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matriz}}\right\|=\left\|{\begin{matriz}A(x){\mathbf {y} }_{1}( x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matriz}}\right\ |=A(x)\Phi(x)$

o introduciendo la derivada de la matriz como matriz de las derivadas de cada elemento

${\ estilo de visualización \ Phi '(x) = A (x) \ Phi (x)}$

Sea la -ésima fila de la matriz . Después ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} (x)}$ $i$ $\fi (x)$

$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$

Esto último significa que la derivada de la -ésima fila de la matriz es una combinación lineal de todas las filas de esta matriz con los coeficientes de la -ésima fila de la matriz . Considere el determinante de la matriz en la que se deriva la -ésima fila. El determinante no cambia si se resta una combinación lineal de todas las demás filas de la fila th de esta matriz. $i$ $\fi (x)$ $i$ $Hacha)$ $\fi (x)$ $i$ $i$

$\left|{\begin{matriz}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \ \\varphi _{n}(x)\\\end{matriz}}\right|=\left|{\begin{matriz}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x )\\\vdots \\\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n }(x)\\\end{matriz}}\right|=\left|{\begin{matriz}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \ \\sum_{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi_{j}(x)-\sum_{{j\neq i}}a_{{ij} }(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matriz}}\right|=\left|{\begin{matriz}\ varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{{ii}}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\ varphi _{n}(x)\\\end{matriz}}\right|=a_{{ii}}(x)W(x)$

Usando la fórmula para diferenciar el determinante , obtenemos

$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\nombre del operador {tr}A(x)W(x)$

La última ecuación diferencial ordinaria tiene solución.

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} A(\zeta )d\zeta }$

Prueba de una ecuación diferencial lineal de orden arbitrario

Ecuación diferencial lineal -ésimo orden $norte$

$y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y'(x )+P_{n}(x)y(x)=0$

es equivalente al siguiente sistema

${\begin{alineado}y_{{n-1}}'(x)&=-P_{1}(x)y_{{n-1}}(x)-\dots -P_{{n-1} }(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{{n-2}}'(x)&=y_{{n-1}} \\\vdots \\y_{{1}}'(x)&=y_{{2}}\\y_{{0}}'(x)&=y_{{1}}\\\end{alineado }}$

con una matriz de la siguiente forma $Hacha)$

$A(x)=\left({\begin{matriz}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &0&1\\-P_{n}(x)& -P_{{n-1}}(x)&\puntos &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matriz}}\right)$

Los wronskianos de la ecuación original y del sistema coinciden, y la traza de la matriz es . Sustituyendo en la fórmula del sistema, obtenemos $Hacha)$ ${\ estilo de visualización -P_{1} (x)}$

$W(x)=W(x_{0})e^{{-\int_{{x_{0}}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$

Aplicación de la fórmula de Liouville-Ostrogradsky

Sea conocida la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, es decir, . Usando la fórmula de Liouville-Ostrogradsky, es posible encontrar una solución del mismo sistema que sea linealmente independiente de él. $y_{1}(x)$ $n=2$ $y_{2}(x)$

Escribamos el wronskiano:

$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$

${\frac{W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2 }}}=\izquierda({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\derecha)',$ es por eso

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$ $\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int { \frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+Por_{1}$

Ya que para independencia lineal y es suficiente , suponiendo , obtenemos $y_{1}(x)$ $y_{2}(x)$ $W\neq 0$ ${\ estilo de visualización C = 1, \, B = 0}$ $y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$

Ejemplo

Sea conocida una solución particular en la ecuación . Usando la fórmula de Liouville-Ostrogradsky, obtenemos $y''-{\mahop {{\rm {{tg}}}}}x\,y'+2y=0$ $y_{1}=\sen x$

$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{{-\int \tan xdx))))=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac{1}{\cos x}}\right|\,-1.$

Entonces la solución general de la ecuación homogénea $y=C_{1}\left(\sen x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\ pecado x$

Literatura utilizada

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Ecuaciones diferenciales. Libro de texto para escuelas secundarias. - M. : Editorial de MSTU im. Bauman , 1999. - 366 págs. — (Matemáticas en la Universidad Técnica; Vol. VIII).
Romanko VK Curso de ecuaciones diferenciales y cálculo de variaciones. - 2ª ed. - M. : Laboratorio de Conocimientos Básicos, 2001. - 344 p.