Fórmula de coárea

La fórmula del coárea es una fórmula integral que relaciona la integral sobre el área y la integral sobre las superficies de nivel de una función o mapeo dado. El principio de Cavalieri es un caso especial de la fórmula coarea.

Para que la fórmula del coárea sea válida, la función y su dominio de definición deben satisfacer ciertas propiedades. El caso más simple es una función suave definida en un dominio abierto . También es cierto para las funciones de Lipschitz y Sobolev [1] . $\mathbb{R} ^{n}$

Redacción

Sea un dominio y sea un mapeo de Lipschitz. Entonces la fórmula del coárea tiene la forma $\Omega$ $\mathbb{R} ^{n}$ $u\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{k}$

\int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\wedge ^{k}d_{x}u|\cdot dx=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{k))} dt\cdot \left(\int \limits_{{u^{-1}}(t)}}g(x)\cdot dH_{{nk}}\right),

donde denota el producto exterior de copias del diferencial , y es la medida de Hausdorff -dimensional . $\cuña ^{k}d_{x}u$ $k$ $d_{x}u$ $H_{{nk}}$ $(nk)$

Casos especiales

Para una función de valor real , la fórmula del coárea es $tu$ $\int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\nabla u(x)|\cdot dx=\int \limits_{{-\infty }}^{\infty }dt\cdot \left( \int \limits _{{u^{{-1}}(t)}}g(x)\cdot dH_{{n-1}}\right),$

donde esta el gradiente

\nabla tu

tu

En el caso , la medida de Hausdorff es la medida de conteo , y está el jacobiano en . Por lo tanto, la fórmula se puede reescribir de la siguiente manera $n = k$ ${\displaystyle H_{nk}=H_{0))$ $\cuña ^{k}d_{x}u$ ${\ estilo de visualización u}$ $X$ $\int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |{\tfrac {\parcial u}{\parcial x))|\cdot dx=\int \limits_{\mathbb {R} ^ {k}}dt\cdot \left(\sum \limits _{x\in u^{-1}(t)}g(x)\right).$

Esta fórmula también se llama fórmula del área .

Literatura

↑ Federer, H (1959), Medidas de curvatura , Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense (Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense, Vol. 93, No. 3) . - T. 93 (3): 418-491 , DOI 10.2307/1993504 .

Federer G. Teoría de la medida geométrica. - 1987. - 760 págs.