La fórmula para el producto de corangs.

La fórmula del producto corank es una fórmula matemática que expresa la codimensión del conjunto de puntos en los que el núcleo de la derivada de mapeo tiene una dimensión dada como el producto de los coranks del mapeo dado en la preimagen y la imagen.

Redacción

El corank de un mapeo lineal en la preimagen (en la imagen) es el número (respectivamente, ), donde es el rango del mapeo . Los corangs están relacionados con la dimensión del kernel (lo denotamos por ) por las fórmulas: y [1] . ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\ estilo de visualización señor}$ ${\ estilo de visualización nr}$ $r$ $A$ $A$ $i$ ${\ Displaystyle mr = yo}$ $nr=n-m+i$

Sea un mapeo suave de variedades y dimensiones suaves y , respectivamente. El símbolo denota su derivada en un punto , es decir, el mapeo lineal de espacios tangentes . ${\ estilo de visualización f: M ^ {m} \ a N ^ {n}}$ $M^{m}$ $N^{n}$ $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización f _ {* x}}$ ${\ estilo de visualización x \ en M^{m))$ $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$

Un punto pertenece al conjunto si la dimensión del núcleo de la derivada en ese punto es . Los conjuntos ciertamente cubren toda la variedad , sin embargo, por regla general, no todos los conjuntos en esta cadena son no vacíos (por ejemplo, en el caso de que exista una desigualdad , de donde, teniendo en cuenta la relación , se sigue que , que es decir, el conjunto está vacío). ${\ estilo de visualización x \ en M^{m))$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {i},}$ ${\ estilo de visualización i \ geq 0,}$ ${\ estilo de visualización f _ {* x}}$ $i$ ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots,\Sigma ^{m))$ $M^{m}$ $n>m$ $r\leq n<m$ ${\ Displaystyle mr = yo}$ ${\ estilo de visualización i> 0}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {0}}$

Teorema. Para mapear en posición general, todos los conjuntos son subvariedades suaves en . En este caso, hay una relación ${\ estilo de visualización f: M ^ {m} \ a N ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {i}}$ $M^{m}$

m-\dim \,\Sigma ^{i}=(mr)(nr),

donde está el rango del mapeo llamado fórmula del producto corank [1] . ${\ estilo de visualización r = mi}$ ${\ estilo de visualización f_ {* x},}$

El valor calculado por esta fórmula puede ser negativo. Esto significa que el conjunto correspondiente está vacío. ${\ estilo de visualización \ dim \ Sigma ^ {i}}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {i}}$

Consecuencia. En el espacio de matrices tipo, el conjunto de matrices de rango forma una variedad suave de codimensión [1] . $(m, n)$ $r$ ${\ estilo de visualización (señor) (nr)}$

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, — Cualquier edición.

Notas

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, - Cualquier edición.