Función de Walsh

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Las funciones de Walsh son una familia de funciones que forman un sistema ortogonal y toman valores solo +1 y −1 en todo el dominio de definición.

En principio, las funciones de Walsh se pueden representar en forma continua, pero más a menudo se definen como secuencias discretas de elementos. Un grupo de funciones de Walsh forma una matriz de Hadamard . $2^{n}$ $2^{n}$

Las funciones de Walsh se han generalizado en las comunicaciones por radio, donde se utilizan para implementar canales de división de código ( CDMA ), por ejemplo, en estándares celulares como IS-95, CDMA2000 o UMTS .

El sistema de funciones de Walsh es una base ortonormal y, como resultado, permite descomponer señales de forma de onda arbitrarias en una serie de Fourier generalizada .

Una generalización de las funciones de Walsh al caso de más de dos valores son las funciones de Vilenkin-Chrestenson .

Designación

Sea la función de Walsh definida en el intervalo [0, T ]; fuera de este intervalo, la función se repite periódicamente. Introduzcamos el tiempo adimensional . Entonces la función de Walsh numerada k se denota como . La numeración de las funciones depende del método de ordenación de las funciones. Hay un orden de Walsh: en este caso, las funciones se indican como se describe arriba. Los pedidos Paley ( ) y Hadamard ( ) también son comunes . ${\ estilo de visualización \ theta = t/T}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {wal} (k, \ theta)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {amigo} (p, \ theta)}$ $\operatorname {tenía} (h,\theta )$

En cuanto al momento , las funciones de Walsh se pueden dividir en pares e impares. Están etiquetados como y respectivamente. Estas funciones son similares a los senos y cosenos trigonométricos . La relación entre estas funciones se expresa de la siguiente manera: $\ theta = 0$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cal} (k, \ theta)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sal} (k, \ theta)}$

\operatorname {cal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k,\theta ),

\operatorname {sal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k-1,\theta ).

Formación

Hay varias formas de formar. Considere uno de ellos, el más ilustrativo: la matriz de Hadamard se puede formar por un método recursivo construyendo matrices de bloques de acuerdo con la siguiente fórmula general:

H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}} &-H_{2^{n-1}}\end{bmatriz}}.

Así es como se puede formar la matriz de longitud de Hadamard : $2^{n}$

H_{1}={\begin{bmatriz}1\end{bmatriz)),

H_{2}={\begin{bmatriz}1&1\\1&-1\end{bmatriz)),

H_{4}={\begin{bmatriz}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatriz)),

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatriz}},

Cada fila de la matriz de Hadamard es una función de Walsh.

En este caso, las funciones están ordenadas según Hadamard. El número de función de Walsh se calcula a partir del número de función de Hadamard reorganizando los bits en la notación binaria del número en orden inverso, y luego convirtiendo el resultado del código Gray .

Ejemplo

Número de Walsh	forma binaria	Convertir desde código Gray	Intercambio de bits	Número según Hadamard
0	000	000	000	0
una	001	001	100	cuatro
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
cuatro	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	una

El resultado es una matriz de Walsh en la que las funciones están ordenadas por Walsh:

W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.

Propiedades

1. Ortogonalidad

El producto punto de dos funciones de Walsh diferentes es cero:

\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (n,\theta )\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )\,d\theta =0\qquad {\ texto{con }}k\neq n.

Ejemplo

Supongamos que n = 1, k = 3 (ver arriba). Después

\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (1,\theta )\cdot \operatorname {wal} (3,\theta )\,d\theta =

=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (- 1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1 }(-1)^{2}\,d\theta =0.

2. Multiplicatividad

El producto de dos funciones de Walsh da la función de Walsh:

\operatorname {wal} (n,\theta )\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (i,\theta ),

donde es el módulo 2 de suma bit a bit de números en el sistema binario. $i=n\o más k$

Ejemplo

Supongamos que n = 1, k = 3. Entonces

n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.

Como resultado de la multiplicación, obtenemos:

{\begin{matriz}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operatorname {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&- 1&\nombre del operador {wal} (3,\theta)\\\hline 1&-1&-1&1&\nombre del operador {wal} (2,\theta)\\\end{matriz}}

Transformación de Walsh-Hadamard

Es un caso especial de la transformada de Fourier generalizada , en la que el sistema de funciones de Walsh actúa como base.

La serie de Fourier generalizada está representada por la fórmula

S(t)=\sum_{i=0}^{\infty}c_{i}\cdot u_{i}(t),

donde es una de las funciones base y es un coeficiente. $tu_{yo}$ $c_{yo}$

La expansión de la señal en las funciones de Walsh tiene la forma

S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,t/T).

En forma discreta, la fórmula se escribe de la siguiente manera:

S(n)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,n).

Los coeficientes se pueden determinar realizando el producto escalar de la señal descompuesta por la función de Walsh básica correspondiente: $c_{yo}$

c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operatorname {wal} (k,t/T)\, dt.

Debe tenerse en cuenta la naturaleza periódica de las funciones de Walsh.

También hay una transformada rápida de Walsh [1] . Es mucho más eficiente que la transformada de Walsh-Hadamard [2] . Además, para el caso especial con dos variables, las funciones de Walsh se generalizan como superficies [3] . También existen ocho bases de funciones binarias ortogonales similares a las funciones de Walsh [4] que se diferencian por su estructura irregular, que también se generalizan al caso de funciones de dos variables. Para cada una de las ocho bases, se ha demostrado la representación de funciones "escalón" en forma de suma finita de funciones binarias, ponderadas con los coeficientes apropiados [5] .

Literatura

Baskakov S. I. Circuitos y señales de ingeniería de radio. - M. : Escuela Superior, 2005. - ISBN 5-06-003843-2 .
Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh series y transformaciones: teoría y aplicaciones. — M .: Nauka, 1987.
Zalmanzon L. A. Transformaciones de Fourier, Walsh, Haar y su aplicación en control, comunicación y otras áreas. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014094-5 .

Véase también

Notas

↑ TRANSFORMACIÓN RÁPIDA DE WALSH. V. N. Malozyomov Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Fast Walsh Transform Archivado el 27 de marzo de 2014 en Wayback Machine .
↑ Romanuke VV A PUNTO DE GENERALIZAR LAS FUNCIONES DE WALSH A SUPERFICIES Archivado el 16 de abril de 2016 en Wayback Machine .
↑ Romanuke VV GENERALIZACIÓN DE LAS OCHO BASES ORTONORMAL CONOCIDAS DE FUNCIONES BINARIAS A SUPERFICIES Archivado el 5 de octubre de 2016 en Wayback Machine .
↑ Romanuke VV EQUIDISTANTLY DISCRETE ON THE ARGUMENT AXIS FUNTIONS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA SERIE DE BASES ORTONORMAL Archivado el 10 de abril de 2016 en Wayback Machine .