Función objetiva

Una función objetivo es una función  real o entera de varias variables que está sujeta a optimización ( minimización o maximización ) para resolver algún problema de optimización. El término se utiliza en programación matemática, investigación de operaciones , programación lineal , teoría de la decisión estadística y otras áreas de las matemáticas, principalmente de naturaleza aplicada, aunque el objetivo de la optimización también puede ser la solución de un problema matemático en sí [1] . Además de la función objetivo, en el problema de optimización, las variables pueden estar sujetas a restricciones en forma de sistema de igualdades o desigualdades. En el caso general, los argumentos de la función objetivo se pueden especificar en conjuntos arbitrarios.

Ejemplos

Funciones suaves y sistemas de ecuaciones

El problema de resolver cualquier sistema de ecuaciones.

puede formularse como un problema de minimización de la función objetivo

Si las funciones son suaves, entonces el problema de minimización se puede resolver mediante métodos de gradiente .

Para cualquier función objetivo suave, se pueden equiparar las derivadas parciales con respecto a todas las variables. La función objetivo óptima será una de las soluciones de dicho sistema de ecuaciones. En el caso de una función, esta será un sistema de ecuaciones de mínimos cuadrados (LSM) . Cualquier solución del sistema original es una solución del sistema de mínimos cuadrados. Si el sistema original es inconsistente, entonces el sistema LSM, que siempre tiene una solución, permite obtener una solución aproximada del sistema original. El número de ecuaciones del sistema LSM coincide con el número de incógnitas, lo que en ocasiones facilita la solución de sistemas iniciales conjuntos.

Programación lineal

Otro ejemplo bien conocido de una función objetivo es una función lineal que se presenta en problemas de programación lineal. A diferencia de la función objetivo cuadrática, la optimización de una función lineal solo es posible si existen restricciones en forma de un sistema de igualdades o desigualdades lineales.

Optimización combinatoria

Un ejemplo típico de una función objetivo combinatoria es la función objetivo del problema del viajante de comercio . Esta función es igual a la longitud del ciclo hamiltoniano en el gráfico . Se da en el conjunto de permutaciones de vértices del gráfico [2] y está determinada por la matriz de longitud de borde del gráfico. La solución exacta de tales problemas a menudo se reduce a la enumeración de opciones.

Notas

  1. ↑ Función objetivo, programación matemática // Diccionario enciclopédico matemático. - M. : "Búhos. enciclopedia” , 1988.
  2. ↑ Tal permutación uno a uno define un ciclo hamiltoniano para una matriz asimétrica de longitudes de borde de gráfico.

Véase también

Literatura