Topología 4D

La topología de cuatro dimensiones es una rama de la topología que estudia las variedades  de cuatro dimensiones topológicas y uniformes .

Las variedades de 4 dimensiones aparecen en la relatividad general como espacio-tiempo .

Propiedades especiales

En la dimensión 4, la teoría de las variedades topológicas y suaves es muy diferente de las de dimensiones inferiores y superiores.

• En todas las dimensiones excepto 4, poner a cero la clase de Kirby-Siebenmann da una condición necesaria y suficiente para la existencia de una estructura lineal por partes.
• En todas las dimensiones excepto 4, una variedad topológica compacta tiene solo un número finito de diferentes estructuras lineales y suaves por partes. En la dimensión 4, su número puede ser contable.
• En todas las dimensiones excepto 4, el espacio euclidiano no tiene estructuras suaves exóticas. En la dimensión 4 hay un número incontable de ellos.
• La solución de la conjetura suave de Poincaré se conoce en todas las dimensiones excepto en la 4 (por regla general, no es cierta en las dimensiones a partir de la 7).
  • La conjetura de Poincaré para variedades lineales por partes también se resuelve para todas las dimensiones excepto 4.
• El teorema del h-cobordismo suave es verdadero siempre que ni la variedad ni su frontera sean de dimensión 4. No es verdadero si la frontera es de dimensión 4 (como lo muestra Donaldson ), y se desconoce si es verdadero si la dimensión del propio cobordismo es 4.
• El truco de Whitney no funciona en la dimensión 4.

Clasificación

Topológico

El tipo de homotopía de una variedad compacta de 4 simplemente conexa depende solo de su forma de intersección .

• Por el teorema de Friedmann , las variedades de este tipo se clasifican hasta el homeomorfismo por una forma de intersección y una invariante Z /2 Z , la llamada clase de Kirby-Siebenmann .
  • Además, puede surgir cualquier combinación de una forma unimodular y una clase de Kirby-Siebenmann, excepto cuando la forma es par, en cuyo caso la clase de Kirby-Siebenmann debe ser igual a , donde denota la firma de la forma de intersección.

Ejemplos:

• En el caso particular cuando la forma es 0, el teorema da un caso de 4 dimensiones de la conjetura topológica de Poincaré .
• Si la forma es igual a E 8 , se obtiene la denominada variedad E8 . Esta variedad no admite triangulación.
• Para la forma Z , existen dos variedades dependiendo de la clase de Kirby-Siebenmann: un espacio proyectivo complejo bidimensional y un espacio proyectivo falso (del mismo tipo de homotopía, pero no homeomorfo a ella).
• Cuando el rango es mayor que 28, el número de formas unimodulares definidas positivas comienza a crecer extremadamente rápido. Por lo tanto, aparece una gran cantidad de 4-variedades topológicas simplemente conectadas correspondientes.

La clasificación de Friedman se puede extender en algunos casos donde el grupo fundamental no es demasiado complicado. Por ejemplo, si es isomorfo a Z , entonces hay una clasificación usando formas hermitianas sobre el anillo de grupo del grupo Z. En el caso de grupos fundamentales demasiado grandes (por ejemplo, un grupo libre con 2 generadores), el método de Friedmann no es aplicable y se sabe muy poco sobre tales variedades.

Para cualquier grupo finitamente dado, existe una variedad de 4 dimensiones compacta y suave cuyo grupo fundamental es isomorfo a este grupo. Dado que no existe un algoritmo para determinar si dos grupos dados son isomorfos, no existe un algoritmo para determinar cuándo dos variedades tienen grupos fundamentales isomorfos. Esta es una de las razones por las que gran parte del trabajo sobre 4-variedades se ocupa del caso simplemente conexo: se sabe que muchos problemas no tienen solución en el caso general.

Suave

Para una variedad de dimensión como máximo 6, cualquier estructura lineal por partes se puede suavizar de una manera única. [1] En particular, la clasificación de las variedades lineales por partes de 4 dimensiones no difiere de la teoría de las variedades suaves de 4 dimensiones.

Dado que se conoce la clasificación topológica, la clasificación de 4-variedades lisas compactas simplemente conectadas se reduce a dos preguntas:

1. ¿Qué variedades topológicas son suavizables?
2. ¿Cómo clasificar estructuras suaves en variedades suaves?

La primera pregunta tiene una respuesta casi completa. Primero, se debe anular la clase Kirby-Siebenmann , y segundo:

• Si la forma de intersección es de signo definido, entonces el teorema de Donaldson da una respuesta completa: existe una estructura suave si y solo si la forma es diagonalizable.
• Si la forma no es de signo definido e impar, entonces existe una estructura suave.
• Si la forma es indefinida e incluso, podemos suponer que tiene una firma no positiva (de lo contrario, cambie la orientación). En este caso, la respuesta depende de la dimensión del formulario y su firma .
  • Si , entonces existe una estructura suave; se obtiene tomando la suma conectada de varias copias de las superficies K3 y .
  • Si , entonces, por el teorema de Furuta, no existe una estructura suave.
  • En la brecha restante, entre el 8/10 y el 8/11, la respuesta es en gran parte desconocida. La llamada "hipótesis 11/8" establece que no existe una estructura uniforme si la dimensión/|firma| menos de 11/8.

En la actualidad, no se conoce una sola variedad suavizada para la cual se conozca la respuesta a la segunda pregunta. Actualmente, no existe una hipótesis plausible sobre cómo podría ser esta clasificación.

Donaldson demostró que en algunas variedades compactas de 4 simplemente conectadas, como las superficies de Dolgachev , hay un número infinito numerable de estructuras suaves distintas.

Hay un número incontable de diferentes estructuras suaves en R 4 .

Notas

1. ↑ Milnor, John . Topología diferencial cuarenta y seis años después  // Avisos de la American Mathematical Society . - 2011. - T. 58 , núm. 6 _ — S. 804–809 . SEÑOR : 2839925

Literatura

• Mandelbaum R. Topología de cuatro dimensiones. — M .: Mir, 1981. — 286 p.