Números de leonardo

Los números de Leonardo son una secuencia de números dada por una dependencia:

L(n):={\begin{casos}1&{\text{si}}n=0;\\1&{\text{si}}n=1;\\L(n-1)+L(n -2)+1&{\text{si}}n>1.\\\end{casos}}

Edsger Dijkstra [1] los usó como parte de su algoritmo de clasificación suave y estudió algunas de sus características. [2]

Relación con los números de Fibonacci

Los números de Leonardo están relacionados con los números de Fibonacci a través de una fórmula . ${\ estilo de visualización L (n) = 2F (n + 1) -1, n \ geqslant 0}$

Esta fórmula implica directamente una expresión para los números de Leonardo, similar a la fórmula de Binet para los números de Fibonacci:

L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )))-1= {\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1

donde es la proporción áurea , y además y son las raíces de la ecuación cuadrática $\varphi =(1+{\sqrt 5})/2$ $\varphi$ $1-\varphi =(1-{\sqrt 5})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

Los primeros veinte términos de la secuencia numérica de Leonardo son:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 — secuencia A001595 en OEIS

la proporción de los números de Leonardo vecinos, así como los números de Fibonacci vecinos, tiende a la proporción áurea

Notas

↑ EWD797
↑ EWD796a