Número de villancico

El número de Carol  es un número entero de la forma .

La forma equivalente es .

Los primeros números de Carol son:

-1 , 7 , 47 , 223 , 959 , 3967, 16127 , 65023 , 261119 , 1046527 ( secuencia OEIS A093112 ).

Los números de villancicos fueron estudiados por primera vez por Cletus Emmanuel, quien los nombró en honor a su amiga Carol G. Kirnon [1] [2] .

Para n > 2, la representación binaria del n-ésimo número de Carol consta de n  − 2 1 consecutivos, un solo cero y n + 1 1 consecutivos o, en forma algebraica,

Entonces, por ejemplo, 47 se parece a 101111 en binario, y 223 se parece a 11011111. La diferencia entre el 2.º número primo de Mersenne y el n.º número de Carol es . Esto da otra expresión equivalente para los números de Carol, . La diferencia entre el n-ésimo número de Kaini y el n-ésimo número de Carol es la ( n  + 2)-ésima potencia de dos.

A partir del 7, cada tercer número de Carol es divisible por 7.

Así, para que un número de Carol sea primo , su índice n no puede ser 3x + 2 para x > 0.

Los primeros números de Carol, que también son números primos:

7, 47, 223, 3967, 16127 ( A091516 ).

En julio de 2007, el mayor número de Carol conocido que es primo es el número para n = 253 987 con 152 916 dígitos [3] [4] . Fue encontrado por Cletus Emmanuel en mayo de 2007 utilizando los programas MultiSieve y PrimeFormGW. Esta es la 40ª prima de Carol.

El séptimo y el quinto primo de Carol (16,127) también son primos si los dígitos están invertidos [5] . El 12º número Carol y el 7º Carol primo (16 769 023) tienen la misma propiedad [6] .

Notas

  1. ↑ Cletus Emmanuel en Prime Pages .
  2. ↑ Mensaje al grupo de números primos de Yahoo de Cletus Emmanuel.
  3. ↑ 253987 Número de páginas principales de Carol .
  4. ↑ Carol Primes y Kynea Primes de Steven Harvey.
  5. ↑ 16127 - ¡Entrada de Prime Curios! ( ISBN 978-1-4486-5170-2 ).
  6. ↑ 16769023 - ¡Artículo de Prime Curios! ( ISBN 978-1-4486-5170-2 ).

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